Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點E（2，3），對稱軸為x=1，它的圖象與x軸交于兩點A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜x₂，x₁²+x₂²=10
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）在（1）中拋物線上是否存在點P，使△POA的面積等于△EOB的面積？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：（1）把E點代入、對稱軸表示出來，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可表示出x₁²+x₂²=10，可得到關(guān)于a、b、c的方程組，求解即可求出二次函數(shù)的解析；
（2）可先求得A、B的坐標(biāo)，求得△EOB的面積，可求得P到OA的距離，代入拋物線可求得P點坐標(biāo)．

解答：解：
（1）∵圖象過E（2，3），
∴4a+2b+c=3①；
∵對稱軸x=1，
∴-

b

2a

=1②，
∵圖象與x軸交于兩點A（x₁，0），B（x₂，0），
∴x₁、x₂是方程ax²+bx+c=0兩根，
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=

b2

a2

-

2c

a

=10③，
由①②③可解

a=-1 b=2 c=3

，
∴二次函數(shù)解析式為y=-x²+2x+3；
（2）在y=-x²+2x+3中，令y=0可得-x²+2x+3=0，解得x=-1或x=3，
∴A為（-1，0）、B為（3，0），
∴OA=1，OB=3，且E為（2，3），
∴S_△EOB=

1

2

×3×3=

9

2

，
設(shè)P點坐標(biāo)為（x，y），則S_△POA=

1

2

×1×|x|，
∵S_△EOB=S_△POA，
∴|x|=9，解得x=±9，
當(dāng)x=9時，代入可得y=-60，
當(dāng)x=-9時，代入可得y=-96，
∴P點坐標(biāo)為（9，-60）或（-9，-96），
∴在（1）中拋物線上是存在點P，使△POA的面積等于△EOB的面積，其坐標(biāo)為（9，-60）或（-9，-96）．

點評：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，在（1）中用a、b、c表示出x₁²+x₂²=10是解題的關(guān)鍵，在（2）中求出P點的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．