Question

已知：如圖，二次函數(shù)y=a（x+1）²-4的圖象與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點D，點C是二次函數(shù)y=a（x+1）²-4的圖象的頂點，CD=．
（1）求a的值．
（2）點M在二次函數(shù)y=a（x+1）²-4圖象的對稱軸上，且∠AMC=∠BDO，求點M的坐標．
（3）將二次函數(shù)y=a（x+1）²-4的圖象向下平移k（k＞0）個單位，平移后的圖象與直線CD分別交于E、F兩點（點F在點E左側），設平移后的二次函數(shù)的圖象的頂點為C₁，與y軸的交點為D₁，是否存在實數(shù)k，使得CF⊥FC₁？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵C（-1，-4），CD=，
∴D（0，-3）
∴a=1
∴y=（x+1）²-4
即y=x²+2x-3．

（2）如右圖，設拋物線對稱軸與x軸的交點為N，則N（-1，0）；
由（1）的拋物線：y=x²+2x-3，得：A（-3，0）、B（1，0）
在Rt△OBD中，OD=3，OB=1，tan∠BDO==．
若∠AMC=∠BDO，則tan∠AMN=tan∠BDO=；
在Rt△AMN中，AN=OA-ON=2，MN=AN÷tan∠AMN=6；
故M（-1，6）或（-1，-6）．

（3）存在．
∵CC₁=DD₁=k，CC₁∥DD₁，
∴四邊形CC₁D₁D為平行四邊形，
∴C₁D₁∥CD，
∴∠D₁ C₁C=∠DCN=45°，
∵CF⊥FC₁，
∴∠CC₁F=45°
即△CFC₁為等腰直角三角形，且CC₁=k，
∴F（-k-1，-k-4），
由點F在新拋物線y=x²+2x-3-k上，
∴（-k-1）²+2（-k-1）-3-k=-k-4，
解得k=2或k=0（舍），
∴k=2．
當k=2時，CF⊥FC₁．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)的解析式，可以直接寫出頂點C的坐標．
（2）根據(jù)（1）得到的拋物線解析式，能確定點A、B的坐標，在Rt△OBD中，首先求出∠OBD的正弦值，設拋物線的對稱軸與x軸的交點為N，若∠AMC=∠BDO，那么它們的正弦值相等，在Rt△AMN中即可求出MN的長，由此得出點M的坐標．
（3）拋物線在向下平移的過程中，頂點、拋物線與y軸交點同時向下平移了k個單位，由此易發(fā)現(xiàn)四邊形CC₁D₁D為平行四邊形，進一步能推出△CFC₁是等腰直角三角形，根據(jù)C、C₁兩點的坐標，結合等腰直角三角形的性質(zhì)可寫出點F的坐標，再代入平移后的拋物線解析式中進行求解即可．
點評：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移、平行四邊形以及等腰直角三角形的性質(zhì)等綜合知識；（3）題的難度較大，能夠準確判斷出△CFC₁的形狀是打開解題思路的關鍵所在．