Question

證明

2

是無(wú)理數(shù)，你能說(shuō)明

π

3

是無(wú)理數(shù)嗎？

Answer 1

考點(diǎn)：實(shí)數(shù)

專題：

分析：假設(shè)

2

不是無(wú)理數(shù)，所以

2

必為有理數(shù)，設(shè)

2

=

p

q

（p、q是互質(zhì)的自然數(shù)），兩邊平方可得到p²=2q²，再根據(jù)p、q均為偶數(shù)和p與q互質(zhì)矛盾即可得出結(jié)論．假設(shè)

π

3

是有理數(shù)，設(shè)

π

3

=x，則x為有理數(shù)，且π=3x．根據(jù)“有理數(shù)的積仍為有理數(shù)”可證到π是有理數(shù)，與“π是無(wú)理數(shù)”矛盾，從而得到

π

3

是無(wú)理數(shù)．

解答：證明：假設(shè)

2

不是無(wú)理數(shù)，所以

2

必為有理數(shù)，
設(shè)

2

=

p

q

（p、q是互質(zhì)的自然數(shù)），
兩邊平方有，p²=2q²，①，
所以p一定是偶數(shù)．
設(shè)p=2m（m是自然數(shù)），
代入①得4m²=2q²，q²=2m²，
所以q也是偶數(shù)，
p、q均為偶數(shù)和p與q互質(zhì)矛盾，
所以

2

不是有理數(shù)，所以

2

是無(wú)理數(shù)；
假設(shè)

π

3

是有理數(shù)，
設(shè)

π

3

=x，則x為有理數(shù)，且π=3x．
∵x和3都為有理數(shù)，
∴根據(jù)“有理數(shù)的積仍為有理數(shù)”可得：
3x是有理數(shù)，即π是有理數(shù)，
與“π是無(wú)理數(shù)”矛盾，
所以假設(shè)不成立，
故

π

3

是無(wú)理數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的概念，解答此類題目時(shí)要注意反證法的使用．