【題目】如圖,已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,點(diǎn)M為DE的中點(diǎn),過點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N.
(1)當(dāng)A,B,C三點(diǎn)在同一直線上時(如圖1),求證:M為AN的中點(diǎn);
(2)將圖1中的△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),當(dāng)A,B,E三點(diǎn)在同一直線上時(如圖2),求證:△ACN為等腰直角三角形;
(3)將圖1中△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時,(2)中的結(jié)論是否仍成立?若成立,試證明之,若不成立,請說明理由.
【答案】
(1)證明:如圖1,
∵EN∥AD,
∴∠MAD=∠MNE,∠ADM=∠NEM.
∵點(diǎn)M為DE的中點(diǎn),
∴DM=EM.
在△ADM和△NEM中,
∴ .
∴△ADM≌△NEM.
∴AM=MN.
∴M為AN的中點(diǎn)
(2)證明:如圖2,
∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形,
∴AB=AD,CB=CE,∠CBE=∠CEB=45°.
∵AD∥NE,
∴∠DAE+∠NEA=180°.
∵∠DAE=90°,
∴∠NEA=90°.
∴∠NEC=135°.
∵A,B,E三點(diǎn)在同一直線上,
∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°.
∴∠ABC=∠NEC.
∵△ADM≌△NEM(已證),
∴AD=NE.
∵AD=AB,
∴AB=NE.
在△ABC和△NEC中,
∴△ABC≌△NEC.
∴AC=NC,∠ACB=∠NCE.
∴∠ACN=∠BCE=90°.
∴△ACN為等腰直角三角形
(3)證明:△ACN仍為等腰直角三角形.
證明:如圖3,延長AB交NE于點(diǎn)F,
∵AD∥NE,M為中點(diǎn),
∴易得△ADM≌△NEM,
∴AD=NE.
∵AD=AB,
∴AB=NE.
∵AD∥NE,
∴AF⊥NE,
在四邊形BCEF中,
∵∠BCE=∠BFE=90°
∴∠FBC+∠FEC=360°﹣180°=180°
∵∠FBC+∠ABC=180°
∴∠ABC=∠FEC
在△ABC和△NEC中,
∴△ABC≌△NEC.
∴AC=NC,∠ACB=∠NCE.
∴∠ACN=∠BCE=90°.
∴△ACN為等腰直角三角形.
【解析】(1)由EN∥AD和點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)可以證到△ADM≌△NEM,從而證到M為AN的中點(diǎn).(2)易證AB=DA=NE,∠ABC=∠NEC=135°,從而可以證到△ABC≌△NEC,進(jìn)而可以證到AC=NC,∠ACN=∠BCE=90°,則有△ACN為等腰直角三角形.(3)延長AB交NE于點(diǎn)F,易得△ADM≌△NEM,根據(jù)四邊形BCEF內(nèi)角和,可得∠ABC=∠FEC,從而可以證到△ABC≌△NEC,進(jìn)而可以證到AC=NC,∠ACN=∠BCE=90°,則有△ACN為等腰直角三角形.
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【題目】如圖,△ABC在直角坐標(biāo)系中,
(1)請寫出△ABC各點(diǎn)的坐標(biāo)。
(2)求出S△ABC
(3)若把△ABC向上平移2個單位,再向右平移2個單位得△A′B′C′,在圖中畫出△ABC變化位置,并寫出A′、B′、C′的坐標(biāo)。
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【題目】在數(shù)軸上表示數(shù)-1和2018的兩點(diǎn)分別為A和B,則A,B兩點(diǎn)之間的距離為( )
A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=(m≠0)的圖象交于點(diǎn)A(3,1),且過點(diǎn)B(0,﹣2).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)如果點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn),且△ABP的面積是3,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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【題目】下列事件中,是隨機(jī)事件的是( )
A.任意畫兩個圓,這兩個圓是等圓B.⊙O的半徑為5,OP=3,點(diǎn)P在⊙O外
C.直徑所對的圓周角為直角D.不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定一個圓
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【題目】如圖是某月的日歷表,在此日歷表上可以用一個矩形圈出3×3個位置的9個數(shù)(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).若用這樣的矩形圈圈這張日歷表的9個數(shù),則圈出的9個數(shù)的和可能為下列數(shù)中的( )
A. 81 B. 100 C. 108 D. 216
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【題目】如圖,一只甲蟲在5×5的方格(每個小格邊長為1)上沿著網(wǎng)格線運(yùn)動.它從A處出發(fā)去看望B,C,D處的其他甲蟲.規(guī)定:向上、向右走為正,向下、向左走為負(fù).如果從A到B記為:A→B(+1,+4),從B到A記為:B→A(-1,-4),其中第一個數(shù)表示左右方向,第二個數(shù)表示上下方向.
(1)圖中B→C(____,____),C→____(+1,____);
(2)若這只甲蟲的行走路線為A→B→C→D,請計算該甲蟲走過的路程.
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