Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，對角線AC，BD相交于點F，過F作EF∥AB，交AD于E．
（1）求證：梯形ABFE是等腰梯形；
（2）若△DCF的面積是12，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）過D作DG⊥AB，交AB于G，由∠DGB=90°得出四邊形DGBC是矩形，由矩形的性質(zhì)可知DC=GB，進而得出DA=DB，根據(jù)EF∥AB即可得出結(jié)論；
（2）由AB∥DC可知△AFB∽△CFD，由相似三角形面積的比等于相似比的平方即可求出△ABF的值，再由==即可求出△BCF及△ADF的值，進而得出結(jié)論．
解答：解：（1）過D作DG⊥AB，交AB于G．
在直角梯形ABCD中，∠BCD=∠ABC=90°．
∵∠DGB=90°，AB=2DC，
∴四邊形DGBC是矩形．
∴DC=GB．
∴AB=2GB，
∴AG=GB．
∴三角形ABD是等腰三角形，即DA=DB．
∴∠DBA=∠DAB．
∵EF∥AB，AE與BF相交于點D
又∵四邊形EABF是梯形．
∵∠DBA=∠DAB．
∴四邊形ABFE是等腰梯形．…（3分）

（2）∵AB∥DC，
∴∠FAB=∠FCD．
∵∠AFB=∠DFC，
∴△AFB∽△CFD．
∵AB=2DC，S_△CFD=12，
∴S_△AFB=48．…（4分）
∵，有，有S_△ADF=24．
同理，S_△CFB=24．
∴梯形ABCD的面積=12+48+24+24=108．…（5分）
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，直角梯形及等腰梯形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，根據(jù)梯形的性質(zhì)判斷出AB與CD的關系是解答此題的關鍵．