Question

【題目】如圖，為等邊三角形，為上的一個動點，為延長線上一點，且．

（1）當是的中點時，求證：．

（2）如圖1，若點在邊上，猜想線段與之間的關系，并說明理由．

（3）如圖2，若點在的延長線上，（1）中的結論是否仍然成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），理由見解析；（3）成立，理由見解析．

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質可得，，然后根據等邊對等角可得，從而求出，然后利用等角對等邊即可證出，從而證出結論；

（2）過點作，交于點，根據等邊三角形的判定也是等邊三角形，然后利用AAS即可證出，根據全等三角形的性質可得，從而證出結論；

（3）過點作，交的延長線于點,根據等邊三角形的判定也是等邊三角形，然后利用AAS即可證出，根據全等三角形的性質可得，從而證出結論；

（1）證明：∵為等邊三角形，是的中點，

∴，．

∵，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴．

（2）．

理由：如圖，過點作，交于點．

∵是等邊三角形，

∴也是等邊三角形，

∴，．

∵，

∴．

∵，

∴，

∴．

又∵，，

∴．

在和中，

∴，

∴，

∴．

（3）如圖，過點作，交的延長線于點．

∵是等邊三角形，

∴也是等邊三角形，

∴，．

∵，

∴．

∵，

∴，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∴．