Question

如圖1，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形OMN的斜邊ON在x軸上，頂點M的坐標為（3，3），MH為斜邊上的高．拋物線C：y=-

1

4

x2+nx與直線y=

1

2

x及過N點垂直于x軸的直線交于點D．點P（m，0）是x軸上一動點，過點P作y軸的平行線，交射線OM于點E．設以M、E、H、N為頂點的四邊形的面積為S．
（1）直接寫出點D的坐標及n的值；
（2）判斷拋物線C的頂點是否在直線OM上？并說明理由；
（3）當m≠3時，求S與m的函數(shù)關系式；
（4）如圖2，設直線PE交射線OD于R，交拋物線C于點Q，以RQ為一邊，在RQ的右側作矩形RQFG，其中RG=

3

2

，直接寫出矩形RQFG與等腰直角三角形OMN重疊部分為軸對稱圖形時m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理和M的坐標即可求出D的坐標和n的值；
（2）設直線OM的解析式為y=kx，k≠0，根據(jù)M（3，3）在直線OM上，得到y(tǒng)=x．求出y=-

1

4

x²+2x的頂點坐標代入即可；
（3）已知了M點的坐標，即可求出OH、MH的長，由于△OHM是等腰直角三角形，即可確定ON的長；欲求四邊形MNHE的面積，需要分成兩種情況考慮：
①0＜m＜3時，②6＞m＞3時，③m＞6時，根據(jù)上述3種情況陰影部分的面積計算方法，可求出不同的自變量取值范圍內(nèi)，S、m的函數(shù)關系式；
（4）根據(jù)等腰直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)，即可求出m的范圍．

解答：（1）解：D的坐標是（6，3），n的值是2．

（2）解：拋物線的頂點坐標在直線OM上，
理由是：設直線OM的解析式為y=kx，k≠0，
∵M（3，3）在直線OM上，
∴y=x．
即直線OM的解析式為：y=x．
∵y=-

1

4

x²+2x的頂點坐標為（4，4），
∴拋物線C的頂點在直線OM上；

（3）解：根據(jù)題意，M（3，3），N（6，0）．
∵點P的橫坐標為m，PE∥y軸交OM于點E，
∴E（m，m）．
當0＜m＜3時，如圖1，
S=S_△OMN-S_△OEH
=

1

2

×6×3-

1

2

×3m=-

3

2

m+9．
當3＜m＜6時，如圖2，
由勾股定理得：OM=

32+32

=3

2

，
同理ON=6，
S=S_△OEN-S_△OMH，
=

1

2

×6m-

1

2

×3×3，
=3m-

9

2

；
當m＞6時，如圖2，
S=S_△EON-S_△OMH
=

1

2

×6m-

1

2

×3×3
=3m-

9

2

．

（4）解：分為三種情況：①為當四邊形為正方形時，此時m=3-

3

，
②當MH平分QF時，此時m=

9

4

，
③矩形RQFG與等腰直角三角形OMN重疊部分為軸對稱圖形時，從M開始，到直線OD與拋物線的交點D為止（不包括D點），即m取值范圍是3≤m＜4．

點評：本題主要考查對矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的三種形式等知識點的理解和掌握，能利用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關鍵，題型較好，綜合性強．