Question

【題目】（1）如圖①，D是等邊△ABC的邊BA上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合），連接DC，以DC為邊，在BC上方作等邊△DCF，連接AF，你能發(fā)現(xiàn)AF與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

（2）如圖②，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至等邊△ABC邊BA的延長(zhǎng)線時(shí)，其他作法與（1）相同，猜想AF與BD在（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；

（3）Ⅰ.如圖③，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊△ABC邊BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D與B不重合），連接DC，以DC為邊在BC上方和下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′，連接AF，BF′，探究AF，BF′與AB有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的探究的結(jié)論；

Ⅱ．如圖④，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊△ABC的邊BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他作法與圖③相同，Ⅰ中的結(jié)論是否成立？若不成立，是否有新的結(jié)論？并證明你得出的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）AF=BD，理由見解析；（2）AF與BD在（1）中的結(jié)論成立，理由見解析；（3）Ⅰ. AF+BF′=AB，理由見解析，Ⅱ．Ⅰ中的結(jié)論不成立，新的結(jié)論是AF=AB+BF′，理由見解析．

【解析】

（1）由等邊三角形的性質(zhì)得BC=AC，∠BCA=60°，DC=CF，∠DCF=60°，從而得∠BCD=∠ACF，根據(jù)SAS證明△BCD≌△ACF，進(jìn)而即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)SAS證明△BCD≌△ACF，進(jìn)而即可得到結(jié)論；

（3）Ⅰ．易證△BCD≌△ACF（SAS），△BCF′≌△ACD（SAS），進(jìn)而即可得到結(jié)論；Ⅱ．證明△BCF′≌△ACD，結(jié)合AF=BD，即可得到結(jié)論．

（1）結(jié)論：AF=BD，理由如下：

如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，

∴BC=AC，∠BCA=60°，

同理知，DC=CF，∠DCF=60°，

∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即：∠BCD=∠ACF，

在△BCD和△ACF中，

∵，

∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴BD=AF；

（2）AF與BD在（1）中的結(jié)論成立，理由如下：

如圖2中，∵△ABC是等邊三角形，

∴BC=AC，∠BCA=60°，

同理知，DC=CF，∠DCF=60°，

∴∠BCA+∠DCA=∠DCF+∠DCA，即∠BCD=∠ACF，

在△BCD和△ACF中，

∵，

∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴BD=AF；

（3）Ⅰ．AF+BF′=AB，理由如下：

由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），則BD=AF；

同理：△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD，

∴AF+BF′=BD+AD=AB；

Ⅱ．Ⅰ中的結(jié)論不成立，新的結(jié)論是AF=AB+BF′，理由如下：

同理可得：，，

在△BCF′和△ACD中，

，

∴△BCF′≌△ACD（SAS），

∴BF′=AD，

又由（2）知，AF=BD，

∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．