Question

14．已知a，b為正整數(shù)，于x的方程x²-2ax+b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁，x₂，關(guān)于y的方程y²+2ay+b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為y₁，y₂，求x₁y₁-x₂y₂的最小值．

Answer 1

分析 公式法分別表示兩方程的解為a±$\sqrt{{a}^{2}-b}$、-a±$\sqrt{{a}^{2}-b}$，令t=$\sqrt{{a}^{2}-b}$后分以下4種情況：①x₁=a+t，x₂=a-t，y₁=-a+t，y₂=-a-t；②x₁=a-t，x₂=a+t，y₁=-a-t，y₂=-a+t；③x₁=a-t，x₂=a+t，y₁=-a-t，y₂=-a-t；④x₁=a+t，x₂=a-t，y₁=-a-t，y₂=-a+t；分別表示出x₁y₁-x₂y₂，求出相應(yīng)最小值，綜合可得．

解答 解：關(guān)于x方程x²-2ax+b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為$\frac{2a±\sqrt{4{a}^{2}-4b}}{2}$=a±$\sqrt{{a}^{2}-b}$，
關(guān)于y的方程y²+2ay+b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為$\frac{-2a±\sqrt{4{a}^{2}-4b}}{2}$=-a±$\sqrt{{a}^{2}-b}$，
設(shè)t=$\sqrt{{a}^{2}-b}$，
①當(dāng)x₁=a+t，x₂=a-t，y₁=-a+t，y₂=-a-t時(shí)，
x₁y₁-x₂y₂=0；
②當(dāng)x₁=a-t，x₂=a+t，y₁=-a-t，y₂=-a+t時(shí)，
x₁y₁-x₂y₂=0；
③當(dāng)x₁=a-t，x₂=a+t，y₁=-a-t，y₂=-a-t時(shí)，
x₁y₁-x₂y₂=4at，
∵方程有實(shí)數(shù)根，
∴t≥0，
∴x₁y₁-x₂y₂=4at≥0，此時(shí)其最小值為0；
④當(dāng)x₁=a+t，x₂=a-t，y₁=-a-t，y₂=-a+t時(shí)，
x₁y₁-x₂y₂=-4at，
∵t≥0，
∴x₁y₁-x₂y₂=-4at≤0，即x₁y₁-x₂y₂無最小值，
綜上，x₁y₁-x₂y₂的最小值為0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，表示出各方程的根并通過換元簡(jiǎn)化各根式，分類討論求x₁y₁-x₂y₂的最值是關(guān)鍵．