Question

在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，P是∠A外角平分線上的一點(diǎn)，連接BP、PC，若PC＜3，求BP²的長．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的判定與性質(zhì),勾股定理,勾股定理的逆定理

專題：

分析：過C點(diǎn)作DC⊥AC交∠A外角平分線于D，過D作DE⊥AB于E，先求得△ABC是直角三角形，AB⊥AC，再根據(jù)△ACD和△AED是等腰直角三角形，證得四邊形ACDE是正方形，從而求得CD=DE=AE=AC=3，BE=7，根據(jù)勾股定理求得BD²=AE²+ED²=7²+3²=58，由于PC＜3=AC=CD，則P應(yīng)是線段AD上的點(diǎn)，且不與A、D重合，所以AB＜BP＜BD，進(jìn)而求得16＜BP²＜58．

解答：解：過C點(diǎn)作DC⊥AC交∠A外角平分線于D，過D作DE⊥AB于E，
∵AB=4，AC=3，BC=5，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形，AB⊥AC，
∵AP平分∠PAE，
∴∠CAP=∠EAP=45°，
∴△ACD和△AED是等腰直角三角形，
∴四邊形ACDE是正方形，
∴CD=DE=AE=AC=3，BE=AB+BE=7，
∴BD²=AE²+ED²=7²+3²=58，
∵PC＜3=AC=CD，
∴P點(diǎn)是線段AD上且不與A、D重合的點(diǎn)，
∴AB＜BP＜BD，
∴AB²＜BP²＜BD²，
即16＜BP²＜58．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理以及勾股定理的逆定理，作出輔助線構(gòu)建正方形是本題的關(guān)鍵．