Question

1．如圖：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知正比例函數(shù)y=$\frac{4}{3}x$與一次函數(shù)y=-x+7的圖象交于點(diǎn)A．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）在y軸上確定點(diǎn)M，使得△AOM是等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）如圖、設(shè)x軸上一點(diǎn)P（a，0），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線（垂線位于點(diǎn)A的右側(cè)），分別交y=$\frac{4}{3}x$和y=-x+7的圖象于點(diǎn)B、C，連接OC，若BC=$\frac{14}{5}$OA，求△ABC的面積及點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（4）在（3）的條件下，設(shè)直線y=-x+7交x軸于點(diǎn)D，在直線BC上確定點(diǎn)E，使得△ADE的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立正比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式組成方程組，求出方程組的解得到x與y的值，確定出A坐標(biāo)即可；
（2）利用勾股定理求出OA的長(zhǎng)，根據(jù)M在y軸上，且△AOM是等腰三角形，如圖1所示，分情況討論，求出M坐標(biāo)即可；
（3）設(shè)出B與C坐標(biāo)，表示出BC，由已知BC與OA關(guān)系，及OA的長(zhǎng)求出BC的長(zhǎng)，求出a的值，如圖2所示，過(guò)A作AQ垂直于BC，求出三角形ABC面積；由a的值確定出B與C坐標(biāo)即可；
（4）如圖3所示，作出D關(guān)于直線BC的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′，連接AD′，與直線BC交于點(diǎn)E，此時(shí)△ADE周長(zhǎng)最小，求出此時(shí)E坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x}\\{y=-x+7}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\end{array}\right.$，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4）；
（2）根據(jù)勾股定理得：OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，

如圖1所示，分四種情況考慮：
當(dāng)OM₁=OA=5時(shí)，M₁（0，5）；
當(dāng)OM₂=OA=5時(shí)，M₂（0，-5）；
當(dāng)AM₃=OA=5時(shí)，M₃（0，8）；
當(dāng)OM₄=AM₄時(shí)，M₄（0，$\frac{25}{8}$），
綜上，點(diǎn)M為（0，5）、（0，-5）、（0，8）、（0，$\frac{25}{8}$）；
（3）設(shè)點(diǎn)B（a，$\frac{4}{3}$a），C（a，-a+7），
∵BC=$\frac{14}{5}$OA=$\frac{14}{5}$×5=14，
∴$\frac{4}{3}$a-（-a+7）=14，
解得：a=9，
過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥BC，如圖2所示，

∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AQ=$\frac{1}{2}$×14×（9-3）=42，
當(dāng)a=9時(shí)，$\frac{4}{3}$a=$\frac{4}{3}$×9=12，-a+7=-9+7=-2，
∴點(diǎn)B（9，12）、C（9，-2）；
（4）如圖3所示，作出D關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連接AD′，與直線BC交于點(diǎn)E，連接DE，此時(shí)△ADE周長(zhǎng)最小，

對(duì)于直線y=-x+7，令y=0，得到x=7，即D（7，0），
由（3）得到直線BC為直線x=9，
∴D′（11，0），
設(shè)直線AD′解析式為y=kx+b，
把A與D′坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{11k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{11}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線AD′解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{11}{2}$，
令x=9，得到y(tǒng)=1，
則此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為（9，1）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：兩直線的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．