【題目】在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,直線y=﹣x+12x軸,y軸分別相交于點A,B,ABO的平分線與x軸相交于點C.

(1)如圖1,求點C的坐標;

(2)如圖2,點D,E,F(xiàn)分別在線段BC,AB,OB上(點D,E,F(xiàn)都不與點B重合),連接DE,DF,EF,且∠EDF+∠OBC=90°,求證:∠FED=AED;

(3)如圖3,在(2)的條件下,延長線段FEx軸相交于點G,連接DG,若∠CGD=FGD,BF:BE=5:8,求直線DF的解析式.

【答案】(1)C坐標為(4,0);(2)見解析;(3)直線DF的解析式為y=﹣x+7.

【解析】整體分析

(1)作CHAB于H,由△OBC≌△HBC求BH,Rt△ACH,求CH,即得OC;(2)過點D分別作DMy軸于點M,DNAB于點N,在NA上截取NP=FM,連接PD,SAS證△DFM≌△DPN,得DF=DP,∠EDF=∠EDP,證△DEF≌△DEP;(3)過點F作FQBE于點Q,過點D作DMy軸于M,DNAB于N,DREF于R,DSOG于點S,過點A作ATBC交BC的延長線于T,連接AD.解Rt△ACT求ST,AT,∠ADT=∠DAT=45°,求DC,從而得DS,OS,求出D的坐標,判斷DF∥AB,即可求DF的解析式.

解:(1)如圖1,作CHAB于H.

由題意A(9,0),B(0,12),

RtAOB中,AB===15,tanOAB===,

∵∠CBH=∠CBO,∠CHB=∠COB,CB=CB,

∴△OBC≌△HBC,

∴BH=OB=12,OC=CH,AH=15﹣12=3,

RtACH中,tanCAH==

∠CH=4,

∴OC=CH=4,

點C坐標為(4,0).

(2)解:如圖2,過點D分別作DMy軸于點M,DNAB于點N,在NA上截取NP=FM,連接PD.

∵∠EDF+∠OBC=90°,∠BDM+∠OBC=90°,

∴∠EDF=BDM,同理BDN=BDM=MDN,

∴∠EDF=MDN,

∵∠DBM=∠DBN,DM⊥OB,DN⊥AB,

∴DM=DN,

∵∠FMD=∠PND=90°,NP=FM,

∴△DFM≌△DPN,

∴DF=DP,∠FDM=∠PDN,

∴∠FDM+∠FDN=∠PDN+∠FDN,即∠FDP=∠MDN,

∴∠EDF=FDP=EDP,

∵DE=DE,

∴△DEF≌△DEP,

∴∠FED=∠AED.

(3)解:如圖3,過點F作FQBE于點Q,過點D作DMy軸于M,DNAB于N,DREF于R,DSOG于點S,過點A作ATBC交BC的延長線于T,連接AD.

∵∠DEF=∠DEA,DR⊥EF,DN⊥EA,

DR=DN,同理DR=DS,

∴DN=DS,

∴∠BAD=∠OAD,同理∠OFD=∠DFG,

RtACT中,AC=9﹣4=5,tanACT=tanBCO==3, =3,

設(shè)CT=m,則AT=3m.

∵CT2+AT2=AC2,

∴m2+(3m)2=52,

解得m=或﹣(舍),

CT=,AT=,

∵∠ADC=ABD+BAD=OBA+BAO)=×90°=45°,

∴∠DAT=45°=∠ADC,

DT=AT=

CD=DT﹣CT=,同理可得,CS=1,DS=3=OM,

∴OS=4﹣1=3,

點D坐標(3,3),

設(shè)BF=5n,則BE=8n,在RtBFQ中,cosFBQ===

∴BQ=4n=EQ,

∴FQ⊥AB,∠BFQ=∠EFQ,

∴∠DFQ=DFC+EFQ=OFG+BFE)=×180°=90°,

∴∠DFQ=∠BQF=90°,

∴DF∥AB,

設(shè)直線DF的解析式為y=﹣x+b,

3=﹣×3+b,

解得b=7,

直線DF的解析式為y=﹣x+7.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,矩形擺放在平面直角坐標系中,點軸上,點軸上,

,過點的直線交矩形的邊于點,且點不與點重合,過點軸于點,交軸于點.

1)如圖1,若為等腰直角三角形,求直線的函數(shù)解析式;

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【題目】如圖,在直角坐標系中,正方形OABC的頂點O與原點重合,頂點AC分別在x軸,y軸上,反比例函數(shù)的圖象與正方形的兩邊AB,BC分別交于點M,NNDx軸,垂足為D,連接OM,ON,MN.下列結(jié)論:①△OCN≌△OAM;ONMN;③四邊形DAMN與△MON面積相等;④若∠MON45°,MN2,則點C的坐標為(0 1)其中正確結(jié)論的序號是____________

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(1)將△ABC沿x軸方向向左平移6個單位,畫出平移后得到的△A1B1C1

(2)將△ABC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后得到的△AB2C2,并直接寫出點B2、C2的坐標;

(3)在第(2)問中,點B旋轉(zhuǎn)到點B2的過程中運動的路徑長是_____.

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【題目】問題情填,

在綜合與實踐課上,老師讓同學(xué)們以矩形紙片的剪拼為主題開展數(shù)學(xué)活動,如圖1,將矩形紙片ABCD沿對角線AC剪開,得到△ABC和△ACD、并且量得AB2cm,AC4cm.

操作發(fā)現(xiàn):

(1)將圖1中的△ACD以點A為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠α,使∠α=∠BAC,得到加圖2所示的△AC′D,過點CAC′的平行線,與DC′的延長線交于點E,則四邊形ACEC'的形狀是_________

(2)創(chuàng)新小組將圖1中的△ACD以點A為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時針方向旋轉(zhuǎn),使BA,D三點在同一條直線上,得到如圖3所示的△AC′D,連接CC′,取CC'的中點F,連精AF并延長到點G,使FGAF,連接CG,C′G,得到四邊形ACGC′,發(fā)現(xiàn)它是正方形,請你證明這個結(jié)論.

實踐探究:

(3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上,進行如下操作:將△ABC沿著BD方向平移,使點B與點A重合,此時A點平移至A′點,A′CBC′相交于點H.如圖4所示,連接CC',試求CH的長度.

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【題目】已知Rt△ABC中,∠C=90°.

(1)已知 a=4, b=2,求 c ;

(2)已知∠A=60°, c=2+4,求 b ;

(3)已知 a =10, c =10,求∠B;

(4)已知 b =35,∠A=45°,求 a .

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【題目】(1)如圖1,將矩形ABCD折疊,使BC落在對角線BD上,折痕為BE,點C落在點C'處,若∠ADB=46°,則∠DBE的度數(shù)為______.

(2)小明手中有一張矩形紙片ABCD,AB=4,AD=9

(畫一畫)

如圖2,點E在這張矩形紙片的邊AD上,將紙片折疊,使AB落在CE所在直線上,折痕設(shè)為MN(M,N分別在邊AD,BC),利用直尺和圓規(guī)畫出折痕MN(不寫作法,保留作圖痕跡,并用黑色水筆把線段描清楚)

(算一算)

如圖3,點F在這張矩形紙片的邊BC上,將紙片折疊,使FB落在射線FD上,折痕為GF,點A,B分別落在點A',B'處,若AG=,求B'D的長;

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1)求∠C的度數(shù);

2)若CE1,求AB的長.

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