【題目】如圖,點P是正方形ABCD內(nèi)的一點,連接CP,將線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段CQ,連接BP,DQ

(1)、如圖a,求證:△BCP≌△DCQ

(2)、如圖,延長BP交直線DQ于點E

如圖b,求證:BE⊥DQ;

如圖c,若△BCP為等邊三角形,判斷△DEP的形狀,并說明理由.

【答案】(1)證明見試題解析;(2證明見試題解析;②△DEP為等腰直角三角形.

【解析】試題分析:(1)、根據(jù)正方形性質(zhì)得出BC=DC,根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)得出CP=CQ以及∠PCB=∠QCD,從而得出三角形全等;(2)、、根據(jù)全等得出∠PBC∠QBC,設BECD交點為M,根據(jù)對頂角得出∠DME=∠BMC,從而說明BE⊥QD、根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出PB=PC=BC,∠PBC=∠BPC=∠PCB=60°,則∠PCD=30°,根據(jù)BC=DC,CP=CQ得出△PCD為等腰三角形,然后根據(jù)△DCQ為等邊三角形,從而得出∠DEP=90°,從而得出答案.

試題解析:(1)、四邊形ABCD是正方形,∴BCDC

將線段CP繞點C順時針旋90°得到線段CQ,∴CP=CQ,∠PCQ90°∴∠PCD+∠QCD90°

∵∠PCB+∠PCD=90° ∴∠PCB=∠QCD

△BCP△DCQBC=DCCP=CQ,∠PCB=∠QCD ∴△BCP≌△DCQ

(2)、①∵△BCP≌△DCQ ∴∠PBC∠QBC

BECD交點為M ∴∠DME=∠BMC ∠MED=∠MCB=90°∴BE⊥QD

②△DEP為等腰直角三角形,

∵△BOP為等邊三角形 ∴PB=PC=BC ∠PBC=∠BPC=∠PCB=60°

∴∠PCD=90°-60°=30°∴∠DCQ=90°-60°=30°

∵BCDC CP=CQ∴PCDC DCCQ ∴△PCD是等腰三角形

△DCQ是等邊三角形 ∴∠CPD∠CDP75°∠CDQ60°∴∠EPD=180°-15°-60°=45°

∠EDP=180°-75°-60°="45" °∴∠EPD=∠EDP PE=DE ∴∠DEP=180°-45°-45°=90°

∴△DEP是等腰直角三形

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