【題目】如圖,在等邊△ABC中,AB=3,D、E分別是AB、AC上的點,且DE∥BC,將△ADE沿DE翻折,與梯形BCED重疊的部分記作圖形L.

(1)求△ABC的面積;
(2)設(shè)AD=x,圖形L的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(3)已知圖形L的頂點均在⊙O上,當(dāng)圖形L的面積最大時,求⊙O的面積.

【答案】
(1)

解:如圖3,作AH⊥BC于H,

∴∠AHB=90°.

∵△ABC是等邊三角形,

∴AB=BC=AC=3.

∵∠AHB=90°,

∴BH= BC=

在Rt△ABC中,由勾股定理,得

AH=

∴SABC= =


(2)

解:如圖1,當(dāng)0<x≤1.5時,y=SADE

作AG⊥DE于G,

∴∠AGD=90°,∠DAG=30°,

∴DG= x,AG= x,

∴y= = x2,

∵a= >0,開口向上,在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大,

∴x=1.5時,y最大= ,

如圖2,當(dāng)1.5<x<3時,作MG⊥DE于G,

∵AD=x,

∴BD=DM=3﹣x,

∴DG= (3﹣x),MF=MN=2x﹣3,

∴MG= (3﹣x),

∴y= ,

=﹣ ;

綜上所述,y關(guān)于x的函數(shù)解析式為:


(3)

解:如圖4,∵y=﹣ ;

∴y=﹣ (x2﹣4x)﹣ ,

y=﹣ (x﹣2)2+

∵a=﹣ <0,開口向下,

∴x=2時,y最大=

,

∴y最大時,x=2,

∴DE=2,BD=DM=1.作FO⊥DE于O,連接MO,ME.

∴DO=OE=1,

∴DM=DO.

∵∠MDO=60°,

∴△MDO是等邊三角形,

∴∠DMO=∠DOM=60°,MO=DO=1.

∴MO=OE,∠MOE=120°,

∴∠OME=30°,

∴∠DME=90°,

∴DE是直徑,

SO=π×12=π.


【解析】(1)作AH⊥BC于H,根據(jù)勾股定理就可以求出AH,由三角形的面積公式就可以求出其值;(2)如圖1,當(dāng)0<x≤1.5時,由三角形的面積公式就可以表示出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,如圖2,當(dāng)1.5<x<3時,重疊部分的面積為梯形DMNE的面積,由梯形的面積公式就可以求出其關(guān)系式;(3)如圖4,根據(jù)(2)的結(jié)論可以求出y的最大值從而求出x的值,作FO⊥DE于O,連接MO,ME,求得∠DME=90°,就可以求出⊙O的直徑,由圓的面積公式就可以求出其值.
【考點精析】本題主要考查了翻折變換(折疊問題)的相關(guān)知識點,需要掌握折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,對稱軸是對應(yīng)點的連線的垂直平分線,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應(yīng)邊和角相等才能正確解答此題.

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方案一:買一件甲種商品就贈送一件乙種商品;

方案二:按購買金額打八折付款.

某公司為獎勵員工,購買了甲種商品20件,乙種商品x(x≥20)件.

(1)分別寫出優(yōu)惠方案一購買費(fèi)用y1(元)、優(yōu)惠方案二購買費(fèi)用y2元)與所買乙種商品x(件)之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)若該公司共需要甲種商品20件,乙種商品40件.設(shè)按照方案一的優(yōu)惠辦法購買了m件甲種商品,其余按方案二的優(yōu)惠辦法購買.請你寫出總費(fèi)用wm之間的關(guān)系式;利用wm之間的關(guān)系式說明怎樣購買最實惠.

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