Question

3．如圖，在△ABC中，AB=AC，射線BD上有一點P，且∠BPC=∠BAC．
（1）求證：∠APC=∠APD；
（2）若∠BAC=60°，BP=3，PA=4，求PC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB，根據(jù)A、P、B、C四點共圓得到∠APC=∠ABC，等量代換即可得到答案；
（2）在射線BP上截取PH=PA，證明△HAB≌△PAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到答案．

解答 （1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BPC=∠BAC，
∴A、P、B、C四點共圓，
∴∠APC=∠ABC，
∴∠APC=∠ACB，又∠APD=∠ACB，
∴∠APC=∠APD；
（2）解：在射線BP上截取PH=PA，
∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠APH=60°，又PH=PA，
∴△APH是等邊三角形，
∴∠HAP=60°，AH=AP，
在△HAB和△PAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AP}\\{∠HAB=∠PAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△HAB≌△PAC，
∴PC=BH=BP+PH=BP+PA=7．

點評 本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．