Question

如圖，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，垂足為點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作射線AE∥BC，點(diǎn)P是邊BC上任意一點(diǎn)，連接PO并延長(zhǎng)與射線AE相交于點(diǎn)Q，設(shè)B，P兩點(diǎn)之間的距離為x，過(guò)點(diǎn)Q作直線BC的垂線，垂足為R．岑岑同學(xué)思考后給出了下面五條結(jié)論，
①△AOB≌△COB；
②當(dāng)0＜x＜10時(shí)，△AOQ≌△COP；
③當(dāng)x=5時(shí)，四邊形ABPQ是平行四邊形；
④當(dāng)x=0或x=10時(shí)，都有△PQR∽△CBO；
⑤當(dāng)x=

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時(shí)，△PQR與△CBO一定相似．
正確的共有

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專(zhuān)題：

分析：根據(jù)相似三角形的判定以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及全等三角形的判定方法結(jié)合圖形分別進(jìn)行分析證明即可得出答案．

解答：解：①∵AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，
∴AO=CO，
∵BO=BO，
在△AOB和△COB中，

AB=CB AO=CO BO=BO

∴△AOB≌△COB（SSS）；
故此選項(xiàng)正確；
②∵AE∥BC，
∴∠AQO=∠CPO，
∵AO=CO，∠AOQ=∠COP，
在△AOQ和△COP中

∠AQO=∠CPO ∠AOQ=∠COP AO=CO

∴△AOQ≌△COP（AAS）
∴當(dāng)0＜x＜10時(shí)，△AOQ≌△COP；
故此選項(xiàng)正確；
③當(dāng)x=5時(shí)，
∴BP=PC=5，
∵AQ=PC，
∴AQ=PB=5，
∵AQ∥BC，
∴四邊形ABPQ是平行四邊形；
故此選項(xiàng)正確；
④如圖1，當(dāng)x=0時(shí)，P與B重合，

∴∠OBC=∠QPR，
又∵∠BOC=∠PRQ=90°，
∴△PQR∽△BCO；
如圖2，當(dāng)x=10時(shí)，P與C重合，此時(shí)Q與A重合，

∵∠QPR=∠BPO，∠QRP=∠BOC=90°，
∴△PQR∽△CBO，
當(dāng)x=0時(shí)，△PQR∽△CBO不相符；故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
⑤如圖3，

若△PQR與△CBO一定相似，
則∠QPR=∠BCO，
可得OP=OC=6，
過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H，
由射影定理得CO²=CH•CB，
可求得CH=3.6，
故CP=7.2，所以BP=x=10-7.2=2.8
故當(dāng)x=

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時(shí)，△PQR與△CBO一定相似．
故此選項(xiàng)正確．
故正確的有①②③⑤．
故答案為：①②③⑤．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了四邊形綜合題，涉信相似三角形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)．