Question

10．先化簡(jiǎn)，再求值：$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}-x}$$÷（2+\frac{{x}^{2}+1}{x}）$，其中x=2sin45°-1．

Answer 1

分析 先把分子、分母進(jìn)行因式分解，再通分，然后把除法轉(zhuǎn)化成乘法，再進(jìn)行約分，最后把求出x的值代入原式，進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}-x}$$÷（2+\frac{{x}^{2}+1}{x}）$=$\frac{（x+1）（x-1）}{x（x-1）}$÷（$\frac{2x}{x}$+$\frac{{x}^{2}+1}{x}$）=$\frac{x+1}{x}$÷$\frac{（x+1）^{2}}{x}$=$\frac{x+1}{x}$×$\frac{x}{（x+1）^{2}}$=$\frac{1}{x+1}$，
∵x=2sin45°-1=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1=$\sqrt{2}$-1，
∴原式=$\frac{1}{\sqrt{2}-1+1}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，用到的知識(shí)點(diǎn)是分式的化簡(jiǎn)步驟和特殊角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是把分式化到最簡(jiǎn)，然后代值計(jì)算．