Question

在Rt△ABC中，AB=BC，E為BC中點，點D在射線BA上，連接DE，過點B作BM⊥DE于M，過點A作AN⊥DE于N．當點D是邊AB的中點時如圖1，易證：AN+BM=2EM．
當點D的位置如圖2和圖3時，上述結(jié)論是否成立，若成立，請給與證明；若不成立，線段AN、BM、EM之間又有怎樣的相等關(guān)系．寫出你的猜想，不必證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）當點D在線段AB上，易證四邊形BGNM為矩形，可得GN=BM，即可求得AN+BM=AG，易證△AGB∽△EMB，可得

AG

EM

=

AB

BE

=2，即可解題；
（2）當點D在BA延長線上時，AN+BM=2EM不成立，新結(jié)論為BM-AN=2EM，理由：易證四邊形AGMN是矩形，可得GM=AN，即可求得BG=BM-AN，易證△AGB∽△BME，可得

BG

EM

=

AB

BE

=2，即可解題．

解答：證明：（1）如圖2，當點D在線段AB上，

∵∠BMN=∠MNG=∠NGB=90°，
∴四邊形BGNM為矩形，
∴GN=BM，
∴AN+BM=AG，
∵∠ABG+∠ABM=90°，∠ABM+∠MBE=90°，
∴∠MBE=∠ABG，
∵∠AGB=∠BME=90°，
∴△AGB∽△EMB，
∴

AG

EM

=

AB

BE

=2，
∴AN+BM=AG=2EM；
（2）如圖3，當點D在BA延長線上時，AN+BM=2EM不成立，新結(jié)論為BM-AN=2EM，

理由：∵∠ANM=∠BMN=∠AGM=90°，
∴四邊形AGMN是矩形，
∴GM=AN，
∴BG=BM-GM=BM-AN，
∵∠BAG+∠ABG=90°，∠ABG+∠EBM=90°，
∴∠EBM=∠BAG，
∵∠AGB=∠BME=90°，
∴△AGB∽△BME，
∴

BG

EM

=

AB

BE

=2，
∴BM-AN=BG=2EM．

點評：本題考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，本題中求證△AGB∽△BME是解題的關(guān)鍵．