Question

如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，直線MN交BC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N．
（1）求證：CM=CN；
（2）若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：2，求

MN

DN

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）證明四邊形AMCN是菱形，即可解決問題．
（2）根據(jù)題意求出

MC

DN

=

3

2

，設(shè)MC=3λ；用λ來表示CD、AB的長，運(yùn)用面積公式即可解決問題．

解答：（1）證明：如圖，連接AC交MN于點(diǎn)O；
則MN⊥AC，且平分AC，
∴NA=NC；AO=CO；
∵矩形是中心對(duì)稱圖形，
∴MO=NO，而AO=CO，MN⊥AC，
∴四邊形AMCN是菱形，
∴CM=CN．
（2）解：∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3：2，
∴

1 2 MC•DC

1 2 DN•DC

=

3

2

，即

MC

DN

=

3

2

，
設(shè)MC=3λ，則DN=2λ，AD=5λ，CN=3λ；
由勾股定理得：CD²=CN²-DN²=5λ²，
∴CD=

5

λ；同理可求AC=

30

λ；
由面積公式得：MC•CD=

1

2

AC•MN，
即3λ•

5

λ=

1

2

×

30

λ•MN，
∴MN=

6

λ，
∴

MN

DN

=

6

2

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了翻折變換及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是根據(jù)翻折變換的性質(zhì)找出圖形中隱含的等量關(guān)系，靈活運(yùn)用勾股定理、菱形的判定等幾何知識(shí)點(diǎn)來分析、判斷、推理或解答；對(duì)綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．