Question

【題目】綜合與探究問題背景數(shù)學(xué)活動課上，老師將一副三角尺按圖（1）所示位置擺放，分別作出∠AOC，∠BOD的平分線OM、ON，然后提出如下問題：求出∠MON的度數(shù)．

特例探究“興趣小組”的同學(xué)決定從特例入手探究老師提出的問題，他們將三角尺分別按圖2、圖3所示的方式擺放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的角平分線．其中，按圖2方式擺放時，可以看成是ON、OD、OB在同一直線上．按圖3方式擺放時，∠AOC和∠BOD相等．

（1）請你幫助“興趣小組”進行計算：圖2中∠MON的度數(shù)為　 　°．圖3中∠MON的度數(shù)為　 　°．

發(fā)現(xiàn)感悟

解決完圖2，圖3所示問題后，“興趣小組”又對圖1所示問題進行了討論：

小明：由于圖1中∠AOC和∠BOD的和為90°，所以我們?nèi)菀椎玫健?/span>MOC和∠NOD的和，這樣就能求出∠MON的度數(shù)．

小華：設(shè)∠BOD為x°，我們就能用含x的式子分別表示出∠NOD和∠MOC度數(shù)，這樣也能求出∠MON的度數(shù)．

（2）請你根據(jù)他們的談話內(nèi)容，求出圖1中∠MON的度數(shù)．

類比拓展

受到“興趣小組”的啟發(fā)，“智慧小組”將三角尺按圖4所示方式擺放，分別作出∠AOC、∠BOD的平分線OM、ON，他們認為也能求出∠MON的度數(shù)．

（3）你同意“智慧小組”的看法嗎？若同意，求出∠MON的度數(shù)；若不同意，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）135，135；（2）∠MON＝135°；（3）同意，∠MON＝（90°﹣x°）+x°+（45°﹣x°）＝135°.

【解析】

（1）由題意可得，∠MON＝×90°+90°，∠MON＝∠AOC+∠BOD+∠COD，即可得出答案；

（2）根據(jù)“OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分線”可求出∠MOC+∠NOD，又∠MON＝（∠MOC+∠NOD）+∠COD，即可得出答案；

（3）設(shè)∠BOC＝x°，則∠AOC＝180°﹣x°，∠BOD＝90°﹣x°，進而求出∠MOC和∠BON，又∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON，即可得出答案.

解：（1）圖2中∠MON＝×90°+90°＝135°；圖3中∠MON＝∠AOC+∠BOD+∠COD＝（∠AOC+∠BOD）+90°＝90°+90°＝135°；

故答案為：135，135；

（2）∵∠COD＝90°，

∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝90°，

∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分線，

∴∠MOC+∠NOD＝∠AOC+∠BOD＝（∠AOC+∠BOD）＝45°，

∴∠MON＝（∠MOC+∠NOD）+∠COD＝45°+90°＝135°；

（3）同意，

設(shè)∠BOC＝x°，則∠AOC＝180°﹣x°，∠BOD＝90°﹣x°，

∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分線，

∴∠MOC＝∠AOC＝（180°﹣x°）＝90°﹣x°，

∠BON＝∠BOD＝（90°﹣x°）＝45°﹣x°，

∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON＝（90°﹣x°）+x°+（45°﹣x°）＝135°．