Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD，垂足為E，點F在BD上，連接AF、EF．
（1）求證：DA=DE；
（2）如果AF∥CD，求證：四邊形ADEF是菱形．
（3）如果∠C=60°，EC=3，求AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)平行的性質(zhì)得到∠ADB=∠CDB，然后結(jié)合BC=CD利用ASA可證得△ABD≌△EBD，繼而可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得出結(jié)論；
（3）由（1）可知△ABD≌△EBD，求AB的長可轉(zhuǎn)化為求BE的長，在直角三角形BEC中利用銳角三角函數(shù)計算即可．
解答：證明：（1）∵BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADB=∠CDB，
又∵AB⊥AD，BE⊥CD，
∴∠BAD=∠BED=90°，
在△ABD和△EBD中，
∵
∴△ABD≌△EBD（AAS），
∴AD=ED．

（2）∵AF∥CD，∴∠AFD=∠EDF，
∴∠AFD=∠ADF，即得AF=AD，
又∵AD=ED，
∴AF=DE，
∴四邊形ADEF是平行四邊形，
又∵AD=ED，
∴四邊形ADEF是菱形；

（3）∵∠C=60°，EC=3，tan60°==，
∴BE=3，
∵AB=BE，
∴AB=3．
點評：本題考查直角梯形的知識，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)平行和直角三角形的性質(zhì)找出圖中的全等的三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解答此題．