Question

已知：等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在直線BC上，以點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心，將線段MD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至MD′，連接ED′．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，線段ED′與MF的數(shù)量關(guān)系是

 

；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？如果成立，請(qǐng)利用圖2證明，如果不成立，請(qǐng)說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形，直接判斷（1）中的結(jié)論是否依然成立？不必給出證明或說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）可通過全等三角形來證明ED′與MF相等，如果連接DE，DF，那么DE就是三角形ABC的中位線，可得出三角形ADE，BDF，DFE，F(xiàn)EC都是等邊三角形，那么∠DEF=∠DFM=60°，DE=DF，而∠MDN和∠FDE都是60°加上一個(gè)∠NDF，因此三角形MDF和EDN就全等了（ASA）．由此可得出EN=MF，∠DD′E=∠DMB，已知了BD=DF，DM=DD′，因此三角形DBM≌三角形DFD′，因此∠DFD′=∠DBM=120°，因此∠DFD′是三角形DFE的外角因此D′，F(xiàn)，E在同一直線上．
（2）（3）證法同（1）都要證明三角形MDF和EDN全等，證明過程中都要作出三角形的三條中位線，然后根據(jù)三條中位線分成的小等邊三角形的邊和角相等來得出兩三角形全等的條件，因此結(jié)論仍然成立．

解答：解：（1）ED'=MF；
（2）ED'與MF的相等關(guān)系依然成立
證明：連接DE、DF、DD'，
∵D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，
∴DE∥BC，DE=

1

2

BC，DF∥AC，DF=

1

2

AC，
∴四邊形DFCE為平行四邊形，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC，∠C=60°，
∴DE=DF，∠EDF=∠C=60°，
∵M(jìn)D=MD'，∠DMD'=60°，
∴△DMD'是等邊三角形，
∴∠MDD'=60°，MD=DD'，
∴∠MDD'=∠EDF，
∵∠MDF=∠MDD'-∠FDD'∠EDD'=∠EDF-∠FDD'，
∴∠MDF=∠EDD'，
∴△DD'E≌△DMF（SAS），
∴ED'=MF．
（3）ED'與MF的相等關(guān)系依然成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及三角形中位線定理得出全等三角形的條件是解題的關(guān)鍵．