【題目】如圖乙,是有公共頂點的等腰直角三角形,,點為射線,的交點.

1)如圖甲,將繞點旋轉,當、、在同一條直線上時,連接、,則下列給出的四個結論中,其中正確的是哪幾個 ;(回答直接寫序號)

;②;③;④

2)若,,把繞點旋轉.

①當時,求的長;

②直接寫出旋轉過程中線段的最大值和最小值.

【答案】1)①②③;(2)①;②長的最小值是,最大值是

【解析】

(1)①由條件證明△ABD≌△ACE,就可以得到結論②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=ACE,就可以得出∠BDC=90°,進而得出結論;③由條件知∠ABC=ABD+DBC=45°,由∠ABD=ACE就可以得出結論;④△BDE為直角三角形就可以得出BE2=BD2+DE2,由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2=2AD2,BC2=2AB2,就有BC2=BD2+CD2≠BD2就可以得出結論.

(2)①分兩種情形a、如圖2中,當點EAB上時,BE=AB-AE=3,由△PEB∽△AEC,得,由此即可解決問題.b、如圖3中,當點EBA延長線上時,BE=9,解法類似;

a、如圖4中,以A為圓心AD為半徑畫圓,當CE在⊙A上方與⊙A相切時,PB的值最大.b、如圖5中,以A為圓心AD為半徑畫圓,當CE在⊙A下方與⊙A相切時,PB的值最小,分別求出PB即可.

(1)解:如圖甲:

①∵∠BAC=DAE=90°,
∴∠BAC+DAC=DAE+DAC,
即∠BAD=CAE
在△ABD和△ACE中,

,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
BD=CE,∴①正確;
②∵△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=ACE
∵∠CAB=90°,
∴∠ABD+AFB=90°,
∴∠ACE+AFB=90°
∵∠DFC=AFB
∴∠ACE+DFC=90°,
∴∠FDC=90°
BDCE,∴②正確;
③∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=45°,
∴∠ABD+DBC=45°
∴∠ACE+DBC=45°,∴③正確;
④∵BDCE,
BE2=BD2+DE2,
∵∠BAC=DAE=90°AB=AC,AD=AE
DE2=2AD2,BC2=2AB2
BC2=BD2+CD2≠BD2,
2AB2=BD2+CD2≠BD2
BE2≠2(AD2+AB2),∴④錯誤.
故答案為①②③.

(2)①解:a.如圖2中,當點上時,

,

(1)可證

,

,

,

;

b.如圖3中,當點延長線上時,,

,

,

(1)可證,

,

,

,

,

,綜上,;

②解:a.如圖4中,以為圓心為半徑畫圓,當下方與相切時,的值最。

理由:此時最小,由(1)可知是直角三角形,斜邊為定值,最小,因此最小,

,

(1)可知,

,,

,且AD=AE=3,

∴四邊形是正方形,

,

;

b.如圖5中,以為圓心為半徑畫圓,當上方與相切時,的值最大.

理由:此時最大,因此最大,(同理,是直角三角形,斜邊為定值,最大,因此最大)

,

,

(1)可知,

,,

,且AD=AE=3,

∴四邊形是正方形,

,

綜上所述,長的最小值是,最大值是

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