【題目】(1)方法選擇:如圖①,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,連接AC,BD,AB=BC=AC.求證:BD=AD+CD.
小穎認(rèn)為可用截長法證明:在DB上截取DM=AD,連接AM…
小軍認(rèn)為可用補(bǔ)短法證明:延長CD至點(diǎn)N,使得DN=AD…
請你選擇一種方法證明.
(2)類比探究:(探究1)如圖②,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,連接AC,BD,BC是⊙O的直徑,AB=AC.試用等式表示線段AD,BD,CD之間的數(shù)量關(guān)系,井證明你的結(jié)論.
(探究2)如圖③,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,連接AC,BD.若BC是⊙O的直徑,∠ABC=30°,則線段AD,BD,CD之間的等量關(guān)系式是 .
(3)拓展猜想:如圖④,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,連接AC,BD.若BC是⊙O的直徑,BC:AC:AB=a:b:c,則線段AD,BD,CD之間的等量關(guān)系式是 .
【答案】(1)選截長法,見解析;(2)探究1 :BD=CD+AD,見解析;探究2: BD=CD+2AD;(3)BD=CD+AD.
【解析】
(1)方法選擇:根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠ABC=60°,如圖①,在BD上截取DM=AD,連接AM,由圓周角定理得到∠ADB=∠ACB=60°,得到AM=AD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BM=CD,于是得到結(jié)論;
(2)類比探究:探究1:如圖②,由BC是⊙O的直徑,得到∠BAC=90°,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=45°,過A作AM⊥AD交BD于M,推出△ADM是等腰直角三角形,求得DM=AD根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論;
探究2:如圖③,根據(jù)圓周角定理和三角形的內(nèi)角和得到∠BAC=90°,∠ACB=60°,過A作AM⊥AD交BD于M,求得∠AMD=30°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到MD=2AD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BM=CD,于是得到結(jié)論;
(3)如圖④,由BC是⊙O的直徑,得到∠BAC=90°,過A作AM⊥AD交BD于M,求得∠MAD=90°,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BM=CD,DM=AD,于是得到結(jié)論.
(1)方法選擇:∵AB=BC=AC,
∴∠ACB=∠ABC=60°,
如圖①,在BD上截取DM=AD,連接AM,
∵∠ADB=∠ACB=60°,
∴△ADM是等邊三角形,
∴AM=AD,
∵∠ABM=∠ACD,
∵∠AMB=∠ADC=120°,
∴△ABM≌△ACD(AAS),
∴BM=CD,
∴BD=BM+DM=CD+AD;
(2)類比探究:探究1:如圖②,
∵BC是⊙O的直徑,
∴∠BAC=90°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
過A作AM⊥AD交BD于M,
∵∠ADB=∠ACB=45°,
∴△ADM是等腰直角三角形,
∴AM=AD,∠AMD=45°,
∴DM=AD,
∴∠AMB=∠ADC=135°,
∵∠ABM=∠ACD,
∴△ABM≌△ACD(AAS),
∴BM=CD,
∴BD=BM+DM=CD+AD;
探究2:如圖③,
∵若BC是⊙O的直徑,∠ABC=30°,
∴∠BAC=90°,∠ACB=60°,
過A作AM⊥AD交BD于M,
∵∠ADB=∠ACB=60°,
∴∠AMD=30°,
∴MD=2AD,
∵∠ABD=∠ACD,∠AMB=∠ADC=150°,
∴△ABM∽△ACD,
∴,
∴BM=CD,
∴BD=BM+DM=CD+2AD;
故答案為:BD=CD+2AD;
(3)拓展猜想:BD=BM+DM=CD+AD;
理由:如圖④,
∵若BC是⊙O的直徑,
∴∠BAC=90°,
過A作AM⊥AD交BD于M,
∴∠MAD=90°,
∴∠BAM=∠DAC,
∴△ABM∽△ACD,
∴,
∴BM=CD,
∵∠ADB=∠ACB,∠BAC=∠NAD=90°,
∴△ADM∽△ACB,
∴,
∴DM=AD,
∴BD=BM+DM=CD+AD.
故答案為:BD=BM+DM=CD+AD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖乙,和是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形,,點(diǎn)為射線,的交點(diǎn).
(1)如圖甲,將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),當(dāng)、、在同一條直線上時,連接、,則下列給出的四個結(jié)論中,其中正確的是哪幾個 ;(回答直接寫序號)
①;②;③;④
(2)若,,把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn).
①當(dāng)時,求的長;
②直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段的最大值和最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(動手操作)
如圖①,把長為l、寬為h的矩形卷成以AB為高的圓柱形,則點(diǎn)A′與點(diǎn)______重合,點(diǎn)B′與點(diǎn)______重合;
(探究發(fā)現(xiàn))
如圖②,圓柱的底面周長是80,高是60,若在圓柱體的側(cè)面繞一圈絲線作裝飾,從下底面A出發(fā),沿圓柱側(cè)面繞一周到上底面B,則這條絲線最短的長度是______;
(實(shí)踐應(yīng)用)
如圖③,圓錐的母線長為12,底面半徑為4,若在圓錐體的側(cè)面繞一圈彩帶做裝飾,從圓錐的底面上的點(diǎn)A出發(fā),沿圓錐側(cè)面繞一周回到點(diǎn)A.求這條彩帶最短的長度是多少?
(拓展聯(lián)想)
如圖④,一顆古樹上下粗細(xì)相差不大,可以看成圓柱體.測得樹干的周長為3米,高為18米,有一根紫藤自樹底部均勻的盤繞在樹干上,恰好繞8周到達(dá)樹干的頂部,這條紫藤至少有 米
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)二次函數(shù)y1,y2的圖象的頂點(diǎn)分別為(a,b)、(c,d),當(dāng)a=﹣c,b=2d,且開口方向相同時,則稱y1是y2的“反倍頂二次函數(shù)”.
(1)請寫出二次函數(shù)y=x2+x+1的一個“反倍頂二次函數(shù)”;
(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=x2+nx和二次函數(shù)y2=nx2+x,函數(shù)y1+y2恰是y1﹣y2的“反倍頂二次函數(shù)”,求n.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一種落地晾衣架如圖①所示,其原理是通過改變兩根支撐桿夾角的度數(shù)來調(diào)整晾衣桿的高度.圖②是支撐桿的平面示意圖,AB和CD分別是兩根不同長度的支撐桿,夾角∠BOD=α.若AO=85 cm,BO=DO=65 cm.問:當(dāng)α=74°時,較長支撐桿的端點(diǎn)A離地面的高度h約為______cm.(參考數(shù)據(jù):sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.8,sin 53°≈0.8,cos 53°≈0.6)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中,小正方形的邊長為1.△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.
(1)把△ABC沿BA方向平移后,點(diǎn)A移到點(diǎn)A1,在網(wǎng)格中畫出平移后得到的△A1B1C1;
(2)把△A1B1C1繞點(diǎn)A1逆時針旋轉(zhuǎn)90°,在網(wǎng)格中畫出旋轉(zhuǎn)后的△A1B2C2;
(3)在(2)的條件下,直接寫出點(diǎn)C1至點(diǎn)C2的經(jīng)過的路徑長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,D是AB邊上一點(diǎn),圓O過D、B、C三點(diǎn),∠DOC=2∠ACD=90°.如果∠ACB=75°,圓O的半徑為2,則BD的長為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】新定義:對于關(guān)于的函數(shù)我們稱函數(shù)為函數(shù)的分函數(shù)(其中為常數(shù)).
例如:對于關(guān)于的一次函數(shù)的分函數(shù)為
(1)若點(diǎn)在關(guān)于的一次函數(shù)的分函數(shù)上,求的值.
(2)寫出反比例函數(shù)的分函數(shù)的圖象上隨的增大而減小的的取值范圍 ;
(3)若是二次函數(shù)關(guān)于的分函數(shù).
當(dāng)時,求的取值范圍.
當(dāng)時,則的取值范圍為 ;
(4)若點(diǎn)連結(jié)當(dāng)關(guān)于的二次函數(shù)的分函數(shù),與線段有兩個交點(diǎn),直接寫出的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知BC是⊙O的直徑,AD切⊙于點(diǎn)A,CD∥OA交⊙O于另一點(diǎn)E.
(1)求證:△ACD∽△BCA;
(2)若A是⊙O上一動點(diǎn),則
①當(dāng)∠B=_____時,以A,O,C,D為頂點(diǎn)的四邊形是正方形;
②當(dāng)∠B=_____時,以A,O,C,E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.
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