Question

【題目】已知矩形中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，將四邊形沿直線翻折，點(diǎn)、的對(duì)稱點(diǎn)分別記為、.

（1）當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)恰好落在線段上，求的長(zhǎng)；

（2）設(shè)，若翻折后存在點(diǎn)落在線段上，則的取值范圍是______.

Answer 1

【答案】（1）；（2）且.

【解析】

（1）過(guò)作于，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖1，易證∽，于是設(shè)，則，可得，然后在中根據(jù)勾股定理即可求出a的值，進(jìn)而可得的長(zhǎng)，設(shè)，則可用n的代數(shù)式表示，連接FB、，如圖2，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)易得，再在中，根據(jù)勾股定理即可求出n的值，于是可得結(jié)果；

（2）仿（1）題的思路，在中，利用勾股定理可得關(guān)于x和m的方程，然后利用一元二次方程的根的判別式和二次函數(shù)的知識(shí)即可求出m的范圍，再結(jié)合點(diǎn)的特殊位置可得m的最大值，從而可得答案.

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，過(guò)作于，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖1，則AB∥CD∥QH，∴∽，∴，

設(shè)，則，∴.

在中，∵，∴，解得：或（舍去）.

∴，∴，

設(shè)，則，連接FB、，如圖2，則，

在中，由勾股定理，得：，∴，解得：，∴；

（2）如圖1，∵，∴，設(shè)，則，∴.

在中，∵，∴，

整理，得：，

若翻折后存在點(diǎn)落在線段上，則上述方程有實(shí)數(shù)根，即△≥0，∴，整理，得：，

由二次函數(shù)的知識(shí)可得：，或（舍去），

∵，∴，當(dāng)x=m時(shí)，方程即為：，解得：，∴，

又∵當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)C重合時(shí)，m的值達(dá)到最大，即當(dāng)x=0時(shí)，，解得：m=1.

∴m的取值范圍是：且.

故答案為：且.