Question

已知：如圖，△ABC中，點(diǎn)O是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥AC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角∠ACG的平分線于點(diǎn)F，連接AE、AF．
（1）求證：∠ECF=90°；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？請(qǐng)說明理由；
（3）在（2）的條件下，△ABC應(yīng)該滿足條件：

 

，就能使矩形AECF變?yōu)檎�方形．（直接添加條件，無(wú)需證明）

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的判定,等腰三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定

專題：

分析：（1）由已知MN∥BC，CE、CF分別平分∠BCO和∠GCO，可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，所以得EO=CO=FO．
（2）由（1）得出的EO=CO=FO，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，則由EO=CO=FO=AO，所以這時(shí)四邊形AECF是矩形．
（3）由已知和（2）得到的結(jié)論，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí)，則推出四邊形AECF是矩形且對(duì)角線垂直，所以四邊形AECF是正方形．

解答：（1）證明：∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∴∠ECF=

1

2

×180°=90°；

（2）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．理由如下：
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，F(xiàn)O=CO，
∴OE=OF；
又∵當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECF=90°，
∴四邊形AECF是矩形；

（3）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí)，四邊形AECF是正方形．
∵由（2）知，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，
已知MN∥BC，當(dāng)∠ACB=90°，則
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形．
故答案為：∠ACB為直角的直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的是正方形和矩形的判定，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是由已知得出EO=FO，確定（2）（3）的條件．