Question

6．如圖，△ABD內(nèi)接于⊙O，點C在線段AD上，AC=2CD，點E在$\widehat{BD}$上，∠ECD=∠ABD，EC=1，則AE等于（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 連接DE，由圓周角定理和已知條件得出∠ECD=∠ABE，再由公共角相等，證出△CDE∽△EDA，得出對應邊成比例$\frac{DE}{AD}=\frac{CE}{AE}=\frac{CD}{DE}$，設CD=x，則AC=2x，AD=3x，求出DE，代入比例式計算，即可得出結果．

解答 解：連接DE，如圖所示：
∵∠AED=∠ABD，∠ECD=∠ABD，
∴∠ECD=∠ABE，
又∵∠EDC=∠ADE，
∴△CDE∽△EDA，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{CE}{AE}=\frac{CD}{DE}$，
∵AC=2CD，
設CD=x，則AC=2x，AD=3x，
∴DE²=AD•CD=3x²，
∴DE=$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{\sqrt{3}x}{3x}=\frac{1}{AE}$，
解得：AE=$\sqrt{3}$；
故選：C．

點評 本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定及圓周角定理的運用，根據(jù)圓周角定理得出兩角相等是證明三角形相似的前提，根據(jù)相似性質(zhì)得到對應邊成比例是關鍵．