【題目】如圖1,拋物線的頂點為C(1,4),交x軸于A、B兩點,交y軸于點D,其中點B的坐標(biāo)為(3,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖2,點E是BD上方拋物線上的一點,連接AE交DB于點F,若AF=2EF,求出點E的坐標(biāo).
(3)如圖3,點M的坐標(biāo)為(,0),點P是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點,連接MP,將MP沿MD折疊,若點P恰好落在拋物線的對稱軸CE上,請求出點P的橫坐標(biāo).
【答案】(1);(2)E(2,3)或(1,4);(3)P點橫坐標(biāo)為
【解析】
(1) 拋物線的頂點為C(1,4),設(shè)拋物線的解析式為,由拋物線過點B,(3,0),即可求出a的值,即可求得解析式;
(2)過點E、F分別作x軸的垂線,交x軸于點M、N,設(shè)點E的坐標(biāo)為,求出A、D點的坐標(biāo),得到OM=x,則AM=x+1,由AF=2EF得到,從而推出點F的坐標(biāo),由,列出關(guān)于x的方程求解即可;
(3)先根據(jù)待定系數(shù)法求出直線DM的解析式為y=-2x+3,過點P作PT∥y軸交直線DM于點T,過點F作直線GH⊥y軸交PT于點G,交直線CE于點H.證明△FGP≌△FHQ,得到FG=FH,PT=GH.設(shè)點P(m,-m+2m+3),則T(m,-2m+3),則PT=m-4m,GH=1-m,可得m-4m=(1-m),解方程即可.
(1)∵拋物線的頂點為C(1,4),
∴設(shè)拋物線的解析式為,
∵拋物線過點B,(3,0),
∴,
解得a=-1,
∴設(shè)拋物線的解析式為,
即;
(2)如圖,過點E、F分別作x軸的垂線,交x軸于點M、N,設(shè)點E的坐標(biāo)為,
∵拋物線的解析式為,
當(dāng)y=0時,,
解得x=-1或x=3,
∴A(-1.0),
∴點D(0,3),
∴過點BD的直線解析式為,點F在直線BD上,
則OM=x,AM=x+1,
∴,
∴,
∴,
∴,
解得x=1或x=2,
∴點E的坐標(biāo)為(2,3)或(1,4);
(3)設(shè)直線DM的解析式為y=kx+b,過點D(0,3),M(,0),
可得,,
解得k=-2,b=3,
∴直線DM的解析式為y=-2x+3,
∴,,
∴tan∠DMO=2,
如圖,過點P作PT∥y軸交直線DM于點T,過點F作直線GH⊥y軸交PT于點G,交直線CE于點H.
∵PQ⊥MT,
∴∠TFG=∠TPF,
∴TG=2GF,GF=2PG,
∴PT=GF,
∵PF=QF,
∴△FGP≌△FHQ,
∴FG=FH,
∴PT=GH.
設(shè)點P(m,-m+2m+3),則T(m,-2m+3),
∴PT=m-4m,GH=1-m,
∴m-4m=(1-m),
解得:,或(不合題意,舍去),
∴點P的橫坐標(biāo)為.
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(2)如圖2,當(dāng)6<t<10時,DE是否存在最小值?若存在,求出DE的最小值;若不存在,請說明理由.
(3)當(dāng)點D在射線OM上運(yùn)動時,是否存在以D,E,B為頂點的三角形是直角三角形?若存在,求出此時t的值;若不存在,請說明理由.
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(2)若|m|=2,在數(shù)軸上表示數(shù)m的點,介于點A,B之間,在A的右側(cè)且到點B距離為5的點表示為n.
①計算m+n-mn;
②解關(guān)于x的不等式mx+4<n,并把解集表示在下列數(shù)軸上.
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(說明:級:90分~100分;級:75分~89分;級60分~74分;級:60分以下)
(1)此次抽樣共調(diào)查了多少名學(xué)生?
(2)請求出樣本中級的學(xué)生人數(shù),井補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該校九年級有1000名學(xué)生,請你用此樣本估計藝術(shù)測試中分?jǐn)?shù)不低于75分的學(xué)生人數(shù),
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(1)求該拋物線的表達(dá)式;
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