【題目】如圖1,已知a∥b,點A、B在直線a上,點C、D在直線b上,且AD⊥BC于E.
(1)求證:∠ABC+∠ADC=90°;
(2)如圖2,BF平分∠ABC交AD于點F,DG平分∠ADC交BC于點G,求∠AFB+∠CGD的度數(shù);
(3)如圖3,P為線段AB上一點,I為線段BC上一點,連接PI,N為∠IPB的角平分線上一點,且∠NCD=∠BCN,則∠CIP、∠IPN、∠CNP之間的數(shù)量關(guān)系是______.
【答案】(1)見解析;(2)225°;(3)3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP.
【解析】
(1)如圖1中,過E作EF∥a,利用平行線的性質(zhì)即可解決問題;
(2)如圖2中,作FM∥a,GN∥b,設(shè)∠ABF=∠EBF=x,∠ADG=∠CDG=y,可得x+y=45°,證明∠AFB=180°-(2y+x),∠CGD=180°-(2x+y),推出∠AFB+∠CGD=360°-(3x+3y)即可解決問題;
(3)分兩種情形:①當(dāng)點N在∠DCB內(nèi)部時,②當(dāng)點N′在直線CD的下方時,分別畫出圖形求解即可.
(1)證明:如圖1中,過E作EF∥a.
∵a∥b,
∴a∥b∥EF,
∵AD⊥BC,
∴∠BED=90°,
∵EF∥a,
∴∠ABE=∠BEF,
∵EF∥b,
∴∠ADC=∠DEF,
∴∠ABC+∠ADC=∠BED=90°.
(2)解:如圖2中,作FM∥a,GN∥b,
設(shè)∠ABF=∠EBF=x,∠ADG=∠CDG=y,
由(1)知:2x+2y=90°,x+y=45°,
∵FM∥a∥b,
∴∠BFD=2y+x,
∴∠AFB=180°-(2y+x),
同理:∠CGD=180°-(2x+y),
∴∠AFB+∠CGD=360°-(3x+3y),
=360°-3×45°=225°.
(3)解:如圖,設(shè)PN交CD于E.
當(dāng)點N在∠DCB內(nèi)部時,∵∠CIP=∠PBC+∠IPB,
∴∠CIP+∠IPN=∠PBC+∠BPN+2∠IPE,
∵PN平分∠EPB,
∴∠EPB=∠EPI,
∵AB∥CD,
∴∠NPE=∠CEN,∠ABC=∠BCE,
∵∠NCE=∠BCN,
∴∠CIP+∠IPN=3∠PEC+3∠NCE=3(∠NCE+∠NEC)=3∠CNP.
當(dāng)點N′在直線CD的下方時,同理可知:∠CIP+∠CNP=3∠IPN,
綜上所述:3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為矩形,O為AC中點,過點O作AC的垂線分別交AD、BC于點E、F,連接AF、CE.
(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
(2)若AC=8,EF=6,求BF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為線段上靠近點的三等分點,為線段上的兩點,且滿足.
(1)若,求線段的長.
(2)若圖中所有線段的長度之和是線段長度的倍,求的值.
(3)若,動點從點、動點從點同時出發(fā),分別以的速度沿直線向右運(yùn)動,是否存在某個時刻使得成立?若存在,求此時的長度;若不存在,說明理由.
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【題目】中華文明,源遠(yuǎn)流長;中華漢字,寓意深廣.為傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校團(tuán)委組織了一次全校3000名學(xué)生參加的“漢字聽寫”大賽.為了解本次大賽的成績,校團(tuán)委隨機(jī)抽取了其中200名學(xué)生的成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計,制成如下不完整的統(tǒng)計圖表:
頻數(shù)頻率分布表
成績x(分) | 頻數(shù)(人) | 頻率 |
50≤x<60 | 10 | 0.05 |
60≤x<70 | 30 | 0.15 |
70≤x<80 | 40 | n |
80≤x<90 | m | 0.35 |
90≤x≤100 | 50 | 0.25 |
根據(jù)所給信息,解答下列問題:
(1)m= ,n= ;
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)這200名學(xué)生成績的中位數(shù)會落在 分?jǐn)?shù)段;
(4)若成績在90分以上(包括90分)為“優(yōu)”等,請你估計該校參加本次比賽的3000名學(xué)生中成績是“優(yōu)”等的約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(),在四邊形中,,,,,分別是,上的點,且.探究圖中線段,,之間的數(shù)量關(guān)系.小王同學(xué)探究此問題的方法是,延長到點,使,連接,先證明≌,再證明≌,可得出結(jié)論,他的結(jié)論應(yīng)該是__________.
如圖(),若在四邊形中,,,,分別是,上的點,且,上述結(jié)論是否仍然成立,并說明理由.
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【題目】如圖1,O為直線AB上一點,過點O作射線OC,,將一直角三角板的直角頂點放在點O處,一邊ON在射線OA上,另一邊OM與OC都在直線AB的上方.
將圖1中的三角板繞點O以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周如圖2,經(jīng)過t秒后,ON落在OC邊上,則______秒直接寫結(jié)果.
如圖2,三角板繼續(xù)繞點O以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)到起點OA上同時射線OC也繞O點以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周,
當(dāng)OC轉(zhuǎn)動9秒時,求的度數(shù).
運(yùn)動多少秒時,?請說明理由.
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A(﹣3,0)、B(1,0)兩點,與y軸相交于點C(0,3),點C、D是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點,一次函數(shù)的圖象過點B、D.
(1)求D點坐標(biāo);
(2)求二次函數(shù)的解析式;
(3)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值小于二次函數(shù)值的x的取值范圍.
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【題目】如圖,已知∠BAC的平分線與BC的垂直平分線PQ相交于點P,PM⊥AC,PN⊥AB,垂足分別為M、N,AB=5,AC=11,則CM的長度為( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
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