Question

6．如圖，一次函數(shù)y=x+b與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A（2，m），與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AP⊥AB，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)P，連接OP，求四邊形OPAB的面積．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決．
（2）如圖連接PB，求出直線AP，通過(guò)解方程組求出直線PA與雙曲線的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)S_{四邊形OPAB}=S_△POB+S_△APB即可計(jì)算．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=x+b與y軸交于點(diǎn)C（0，-1），
∴b=-1，
∵點(diǎn)A（2，m）在直線y=x-1上，
∴m=2-1=1，
把點(diǎn)A（2，1）代入y=$\frac{k}{x}$得k=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{2}{x}$，
（2）如圖連接PB，
設(shè)直線AP為y=-x+b′，A（2，1）代入得b′=3，
∴直線AP為y=-x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴的P坐標(biāo)（1，2）
∴PA=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{2}$
∴S_{四邊形OPAB}=S_△POB+S_△APB=$\frac{1}{2}$×1×2+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，四邊形面積問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用兩條直線垂直K₁•K₂=-1，求出直線PA，熟練掌握兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)可以利用方程組解決，學(xué)會(huì)分割法求四邊形面積，屬于中考常考題型．