Question

已知t是實(shí)數(shù)，若a，b是關(guān)于x的一元二次方程x²-x+t-4=0的兩個(gè)非負(fù)實(shí)根，則（a²-4）（b²-4）的最大值與最小值的差為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的最值,根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系與根的判別式，可以求出t的取值范圍，然后把式子（a²-4）（b²-4）進(jìn)行變形，進(jìn)而得出有關(guān)t的函數(shù)關(guān)系求出即可．

解答：解：∵a，b是關(guān)于x的一元二次方程x²-x+t-4=0的兩個(gè)非負(fù)實(shí)根，
∴可得a+b=1，ab=t-4≥0，
∴t≥4，
又△=1-4（t-4）≥0，可得t≤

17

4

，
∴

17

4

≥t≥4，
又（a²-4）（b²-4）=（ab）²-（a²+b²）+16=（ab）²-4（a+b）²+2ab+16，
∴（a²-4）（b²-4），
=（t-4）²-4+2（t-4）+16，
=t²+20，
又∵

17

4

≥t≥4，
∴（

17

4

）²+20-16-20=

33

16

，
故答案為：

33

16

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及整式的運(yùn)算等知識(shí)，熟練應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系得出有關(guān)t的函數(shù)關(guān)系式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．