【題目】如圖,將線段AB繞點A逆時針旋轉60°得AC,連接BC,作△ABC的外接圓⊙O,點P為劣弧 上的一個動點,弦AB,CP相交于點D.
(1)求∠APB的大小;
(2)當點P運動到何處時,PD⊥AB?并求此時CD:CP的值;
(3)在點P運動過程中,比較PC與AP+PB的大小關系,并對結論給予證明.
【答案】
(1)解:∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∵∠APB+∠ACB=180°,
∴∠APB=120°
(2)解:當點P運動到 的中點時,PD⊥AB,
如圖1,連接PC,OA,OB,設⊙O的半徑為r,則CP=2r,
又∵⊙O為等邊△ABC的外接圓,
∴∠OAB=30°,
在Rt△OAD中,
∵OD= OA= ,
∴CD= +r= ,
∴CD:CP= :2r=3:4
(3)解:PC=AP+PB
證明:方法一:
如圖2,在AP的延長線上取點Q,使PQ=PB,連接BQ,
∵∠APB=120°,
∴∠BPQ=60°,
∴△BPQ是等邊三角形,
∴PB=BQ,
∵∠CBP=∠CBA+∠ABP=60°+∠ABP,
∠ABQ=∠QBP+∠ABP=60°+∠ABP,
∴∠ABQ=∠CBP,
在△ABQ和△CBP中,PB=QB,∠CBP=∠ABQ,CB=AB,
∴△ABQ≌△CBP,
∴CP=AQ=AP+PQ=AP+PB,即PC=AP+PB;
方法二:如圖3,B為圓心,BP為半徑畫圓交CP于點M,連接BM,
∵∠CPB=60°,
∴△PBM是等邊三角形,
∵∠CMB=120°,
∴∠CMB=∠APB,
∴△APB≌△CMB,
∴PC=AP+PB;
方法三:(略證)如圖4,以A為圓心,A為半徑畫圓交CP于N,連接AN,
先證△APN是等邊三角形,再證△ANC≌△APB,
從而PC=AP+PB.
【解析】(1)先根據(jù)題意判斷出△ABC是等邊三角形,再根據(jù)圓內接四邊形對角互補的性質可知∠APB+∠ACB=180°,進而可得出結論;(2)連接PC,OA,OB,設⊙O的半徑為r,則CP=2r,根據(jù)⊙O為等邊△ABC的外接圓可求出∠OAB=30°,再根據(jù)直角三角形的性質可用r表示出OD,CD的值,進而得出結論;(3)在AP的延長線上取點Q,使PQ=PB,連接BQ,可判斷出△BPQ是等邊三角形,再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△ABQ≌△CBP,由全等三角形的性質即可得出結論.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】正方形ABCD內一點P,AB=5,BP=2,把△ABP繞點B順時針旋轉90°得到△CBP',則PP'的長為( )
A.2
B.
C.3
D.3
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【題目】閱讀下面材料:
如圖1,在平面直角坐標系xOy中,直線y1=ax+b與雙曲線y2= 交于A(1,3)和B(﹣3,﹣1)兩點.
觀察圖像可知:
①當x=﹣3或1時,y1=y2;
②當﹣3<x<0或x>1時,y1>y2 , 即通過觀察函數(shù)的圖像,可以得到不等式ax+b> 的解集.
有這樣一個問題:求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集.
某同學根據(jù)學習以上知識的經驗,對求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集進行了探究.
下面是他的探究過程,請將(1)、(2)、(3)補充完整:
(1)①將不等式按條件進行轉化:
當x=0時,原不等式不成立;
當x>0時,原不等式可以轉化為x2+4x﹣1>;
當x<0時,原不等式可以轉化為x2+4x﹣1<;
②構造函數(shù),畫出圖像
設y3=x2+4x﹣1,y4= , 在同一坐標系中分別畫出這兩個函數(shù)的圖像.
雙曲線y4=如圖2所示,請在此坐標系中畫出拋物線y3=x2+4x﹣1;(不用列表)
(2)確定兩個函數(shù)圖像公共點的橫坐標
觀察所畫兩個函數(shù)的圖像,猜想并通過代入函數(shù)解析式驗證可知:滿足y3=y4的所有x的值為
(3)借助圖像,寫出解集
結合(1)的討論結果,觀察兩個函數(shù)的圖像可知:不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集為
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【題目】出租車司機小王某天下午營運是在東西走向的大街上進行的,如果規(guī)定向東為正,向西為負,他這天下午行車里程(單位:千米)如下:
+15,-2,+5,-1,+10,-3,-2,+12,+4,-5,+6.
(1)將最后一名乘客送到目的地時,小王距下午出車時的出發(fā)點多遠?
(2)若汽車耗油量為0.05升/千米,這天下午小王的汽車共耗油多少升?
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經過A(﹣4,0)、B(1,0)、C(0,3)三點,直線y=mx+n經過A(﹣4,0)、C(0,3)兩點.
(1)寫出方程ax2+bx+c=0的解;
(2)若ax2+bx+c>mx+n,寫出x的取值范圍.
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【題目】我市某校為了創(chuàng)建書香校園,去年購進一批圖書.經了解,科普書的單價比文學書的單價多4元,用12000元購進的科普書與用8000元購進的文學書本數(shù)相等.
(1)文學書和科普書的單價各多少錢?
(2)今年文學書和科普書的單價和去年相比保持不變,該校打算用10000元再購進一批文學書和科普書,問購進文學書550本后至多還能購進多少本科普書?
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【題目】某生產小組有名工人,調查每個工人的日均零件生產能力,獲得如表數(shù)據(jù):
日均生產零件的個數(shù)(個) | ||||||
工人人數(shù)(人) |
求這名工人日均生產零件的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).
為提高工作效率和工人的工作積極性,生產管理者準備實行“每天定額生產,超產有獎”的措施,如果你是管理者,你將如何確定這個定額?請說明理由.
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【題目】密蘇里州圣路易斯拱門是座雄偉壯觀的拋物線形的建筑物,是美國最高的獨自挺立的紀念碑,如圖.拱門的地面寬度為200米,兩側距地面高150米處各有一個觀光窗,兩窗的水平距離為100米,求拱門的最大高度.
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【題目】小明在學習了《展開與折疊》這一課后,明白了很多幾何體都能展開成平面圖形.于是他在家用剪刀展開了一個長方體紙盒,可是一不小心多剪了一條棱,把紙盒剪成了兩部分,即圖中的①和②.根據(jù)你所學的知識,回答下列問題:
(1)小明總共剪開了_______條棱.
(2)現(xiàn)在小明想將剪斷的②重新粘貼到①上去,而且經過折疊以后,仍然可以還原成一個長方體紙盒,你認為他應該將剪斷的紙條粘貼到①中的什么位置?請你幫助小明在①上補全.
(3)小明說:他所剪的所有棱中,最長的一條棱是最短的一條棱的5倍.現(xiàn)在已知這個長方體紙盒的底面是一個正方形,并且這個長方體紙盒所有棱長的和是880cm,求這個長方體紙盒的體積.
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