Question

如圖，∠ABD、∠ACD的平分線交于E，∠E=β₁；∠EBD、∠ECD的平分線交于F，∠F=β₂；如此下去，∠FBD、∠FCD的平分線的交角為β₃；…若∠A=40°，∠D=32°，則β₄為________度．

Answer 1

32.5
分析：先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ABE=∠DBE，∠ACE=∠DCE，再由三角形外角的性質(zhì)可得出∠BOC=∠E+∠ACE=∠A+∠ABE，∠BPC=∠E+∠DBE=∠D+∠DCE，再根據(jù)∠A=40°，∠D=32°即可得出∠E的度數(shù)，同理即可得出β₂、β₃、β₄的度數(shù)．
解答：∵∠ABD、∠ACD的平分線交于E，∠EBD、∠ECD的平分線交于F，
∴∠ABE=∠DBE （1），
∠ACE=∠DCE （2），
∵∠BOC是△COE與△AOB的外角，
∴∠BOC=∠E+∠ACE=∠A+∠ABE （3），
∵∠BPC是△BEP與△PCD的外角，
∠BPC=∠E+∠DBE=∠D+∠DCE （4）
（3）+（4），得：2∠E+∠ACE+∠DBE=∠A+∠D+∠ABE+∠DCE （5）
把（1），（2），代入（5），
化簡得：∠E===36°，
∴∠β₁=36°，
同理可得，∠β₂====34°，
∠β₃====33°，
∴∠β₄===32.5°．
故答案為：32.5．

點(diǎn)評：本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)以上知識求出β₁、β₂的度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．