Question

【題目】工人師傅在修茸一人字架屋頂BAC時(shí)需要加固，計(jì)劃焊接三根鋼條AD，DE，FG．在如圖所示的△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F，G分別是AB，BD，AC上的點(diǎn)，連接DE，GF，交于點(diǎn)H，GF與AD交于點(diǎn)M，當(dāng)H為FM的中點(diǎn)，BF∶CF=1∶5，AG：AE=5：7時(shí)，△AGM的面積為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

過(guò)點(diǎn)G作GN∥BC交AD于點(diǎn)N，利用已知條件易證NG∥BC，NG⊥AD，∠B=∠C，∠EAD=∠MAG，同時(shí)可求出BD，DC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，結(jié)合已知求出BF，CF的長(zhǎng)；利用直角三角形的性質(zhì)，可證得DH=HF=MH，∠ADE=∠FMD=∠AMG，由此可證△BDE∽△CFG，△ADE∽△AMG，利用相似三角形的性質(zhì)，可求出AM的長(zhǎng)及BE與CG的比值；設(shè)AG=5m，則AE=7m，用含m的代數(shù)式表示出BE，AE的長(zhǎng)，由此建立關(guān)于m的方程，解方程求出m的值；然后證明△ANG∽△ADC，利用相似三角形的性質(zhì)求出NG的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式求出△AMG的面積.

解：過(guò)點(diǎn)G作GN∥BC交AD于點(diǎn)N，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴NG∥BC，NG⊥AD，

∴∠B=∠C，BD=DC=6，∠ADF=90°，∠EAD=∠MAG，

∴；

∵BF:CF=1:5，BC=12，

∴BF+CF=12，

解之：BF=2，CF=10，

在Rt△MDF中，點(diǎn)H是MF的中點(diǎn)，

∴DH=HF=MH，

∴∠BDE=∠CFG，∠ADE=∠FMD=∠AMG，

∵∠BDE=∠CFG，∠B=∠C，

∴△BDE∽△CFG，

∴，

∵∠EAD=∠MAG，∠AMG=∠ADE，

∴△ADE∽△AMG，

∴；

解得：，

設(shè)AG=5m，則AE=7m，

∴BE=AB-AE=10-7m，CG=AC-AG=10-5m，

∴，

解得：m=1，

經(jīng)檢驗(yàn)，m=1符合題意，

∴AG=5，

∵NG∥BC，

∴△ANG∽△ADC，

∴ ， 即

解之：NG=3.

∴.

故答案為：.