Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形AOCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，4），現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿線段OC（不包括端點(diǎn)O，C）以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CD（不包括端點(diǎn)C，D）以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），當(dāng)t=2（秒）時(shí)，PQ=2 ．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并直接寫出t的取值范圍．
（2）連接AQ并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)E，把AE沿AD翻折交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接EF，則△AEF的面積S是否隨t的變化而變化？若變化，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；若不變化，求出S的值．
（3）在（2）的條件下，t為何值時(shí)，四邊形APQF是梯形？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知，當(dāng)t=2（秒）時(shí)，OP=4，CQ=2，

在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC= =4，

∴OC=OP+PC=4+4=8，

又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）．

點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)所需時(shí)間為 =4秒，點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)所需時(shí)間為 =4秒，由題意可知，t的取值范圍為：0＜t＜4．

（2）解：結(jié)論：△AEF的面積S不變化．

∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC，

∴ ，即 ，解得CE= ．

由翻折變換的性質(zhì)可知：DF=DQ=4﹣t，則CF=CD+DF=8﹣t．

S=S梯形AOCF+S△FCE﹣S△AOE

= （OA+CF）OC+ CFCE﹣ OAOE

= [4+（8﹣t）]×8+ （8﹣t） ﹣ ×4×（8+ ）

化簡(jiǎn)得：S=32為定值．

所以△AEF的面積S不變化，S=32．

（3）解：若四邊形APQF是梯形，因?yàn)锳P與CF不平行，所以只有PQ∥AF．

由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF，

∴ ，即 ，化簡(jiǎn)得t2﹣12t+16=0，

解得：t1=6+2 ，t2=6﹣2 ，

由（1）可知，0＜t＜4，∴t1=6+2 不符合題意，舍去．

∴當(dāng)t=（6﹣2 ）秒時(shí)，四邊形APQF是梯形．

【解析】（1）利用勾股定理求出PC的長(zhǎng)度，然后利用矩形的性質(zhì)確定D點(diǎn)的坐標(biāo)；自變量的取值范圍由動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間來確定；（2）本問關(guān)鍵是利用相似三角形與翻折變換的性質(zhì)，求出S的表達(dá)式．注意求圖形面積的方法S=S梯形AOCF+S△FCE﹣S△AOE ． 經(jīng)化簡(jiǎn)計(jì)算后，S=32為定值，所以S不變；（3）由四邊形APQF是梯形，可得PQ∥AF，從而得到相似三角形△CPQ∽△DAF；再由線段比例關(guān)系求出時(shí)間t．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的梯形的定義和翻折變換（折疊問題），需要了解一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形是梯形．兩腰相等的梯形是等腰梯形；折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和角相等才能得出正確答案．