(2012•北海)如圖,在平面直角坐標系中有Rt△ABC,∠A=90°,AB=AC,A(-2,0)、B(0,1)、C(d,2).
(1)求d的值;
(2)將△ABC沿x軸的正方向平移,在第一象限內(nèi)B、C兩點的對應(yīng)點B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上.請求出這個反比例函數(shù)和此時的直線B′C′的解析式;
(3)在(2)的條件下,直線BC交y軸于點G.問是否存在x軸上的點M和反比例函數(shù)圖象上的點P,使得四邊形PGMC′是平行四邊形?如果存在,請求出點M和點P的坐標;如果不存在,請說明理由.
分析:(1)過C作CN垂直于x軸,交x軸于點N,由A、B及C的坐標得出OA,OB,CN的長,由∠CAB=90°,根據(jù)平角定義得到一對角互余,在直角三角形ACN中,根據(jù)兩銳角互余,得到一對角互余,利用同角的余角相等得到一對角相等,再由一對直角相等,且AC=BC,利用AAS得到三角形ACN與三角形AOB全等,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出CN=0A,AN=0B,由AN+OA求出ON的長,再由C在第二象限,可得出d的值;
(2)由第一問求出的C與B的橫坐標之差為3,根據(jù)平移的性質(zhì)得到縱坐標不變,故設(shè)出C′(m,2),則B′(m+3,1),再設(shè)出反比例函數(shù)解析式,將C′與B′的坐標代入得到關(guān)于k與m的兩方程,消去k得到關(guān)于m的方程,求出方程的解得到m的值,即可確定出k的值,得到反比例函數(shù)解析式,設(shè)直線B′C′的解析式為y=ax+b,將C′與B′的坐標代入,得到關(guān)于a與b的二元一次方程組,求出方程組的解得到a與b的值,即可確定出直線B′C′的解析式;
(3)存在x軸上的點M和反比例函數(shù)圖象上的點P,使得四邊形PGMC′是平行四邊形,理由為:設(shè)Q為GC′的中點,令第二問求出的直線B′C′的解析式中x=0求出y的值,確定出G的坐標,再由C′的坐標,利用線段中點坐標公式求出Q的坐標,過點Q作直線l與x軸交于M′點,與y=
6
x
的圖象交于P′點,若四邊形P′G M′C′是平行四邊形,則有P′Q=Q M′,易知點M′的橫坐標大于
3
2
,點P′的橫坐標小于
3
2
,作P′H⊥x軸于點H,QK⊥y軸于點K,P′H與QK交于點E,作QF⊥x軸于點F,由兩直線平行得到一對同位角相等,再由一對直角相等及P′Q=QM′,利用AAS可得出△P′EQ與△QFM′全等,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等,設(shè)EQ=FM′=t,由Q的橫坐標-t表示出P′的橫坐標,代入反比例函數(shù)解析式確定出P′的縱坐標,進而確定出M′的坐標,根據(jù)P′H-EH=P′H-QF表示出P′E的長,又P′Q=QM′,分別放在直角三角形中,利用勾股定理列出關(guān)于t的方程,求出方程的解得到t的值,進而確定出P′與M′的坐標,此時點P′為所求的點P,點M′為所求的點M.
解答:解:(1)作CN⊥x軸于點N,
∵A(-2,0)、B(0,1)、C(d,2),
∴OA=2,OB=1,CN=2,
∵∠CAB=90°,即∠CAN+∠BAO=90°,
又∵∠CAN+∠ACN=90°,
∴∠BAO=∠ACN,
在Rt△CNA和Rt△AOB中,
∠ACN=∠BAO
∠ANC=∠BOA=90°
CA=AB
,
∴Rt△CNA≌Rt△AOB(AAS),
∴NC=OA=2,AN=BO=1,
∴NO=NA+AO=3,又點C在第二象限,
∴d=-3;

(2)設(shè)反比例函數(shù)為y=
k
x
(k≠0),點C′和B′在該比例函數(shù)圖象上,
設(shè)C′(m,2),則B′(m+3,1),
把點C′和B′的坐標分別代入y=
k
x
,得k=2m;k=m+3,
∴2m=m+3,
解得:m=3,
則k=6,反比例函數(shù)解析式為y=
6
x
,點C′(3,2),B′(6,1),
設(shè)直線C′B′的解析式為y=ax+b(a≠0),
把C′、B′兩點坐標代入得:
3a+b=2
6a+b=1
,
∴解得:
a=-
1
3
b=3
;
∴直線C′B′的解析式為y=-
1
3
x+3;


(3)存在x軸上的點M和反比例函數(shù)圖象上的點P,使得四邊形PGMC′是平行四邊形,理由為:
設(shè)Q是G C′的中點,令y=-
1
3
x+3中x=0,得到y(tǒng)=3,
∴G(0,3),又C′(3,2),
∴Q(
3
2
5
2
),
過點Q作直線l與x軸交于M′點,與y=
6
x
的圖象交于P′點,
若四邊形P′G M′C′是平行四邊形,則有P′Q=Q M′,
易知點M′的橫坐標大于
3
2
,點P′的橫坐標小于
3
2
,
作P′H⊥x軸于點H,QK⊥y軸于點K,P′H與QK交于點E,作QF⊥x軸于點F,
∵QF∥P′E,
∴∠M′QF=∠QP′E,
在△P′EQ和△QFM′中,
∠P′EQ=∠QFM′
∠QP′E=∠M′QF
P′Q=QM′

∴△P′EQ≌△QFM′(AAS),
∴EQ=FM′,P′Q=QM′,
設(shè)EQ=FM′=t,
∴點P′的橫坐標x=
3
2
-t,點P′的縱坐標y=2•yQ=5,點M′的坐標是(
3
2
+t,0),
∴P′在反比例函數(shù)圖象上,即5(
3
2
-t)=6,
解得:t=
3
10
,
∴P′(
6
5
,5),M′(
9
5
,0),
則點P′為所求的點P,點M′為所求的點M.
點評:此題屬于反比例函數(shù)綜合題,涉及的知識有:全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,坐標與圖形性質(zhì),利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,平移的性質(zhì),是一道綜合性較強的試題,要求學(xué)生掌握知識要全面.
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5
,-
6
5
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,-
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