Question

有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長(zhǎng)分別為3cm，4cm．現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以4cm為直角邊的直角三角形，請(qǐng)畫(huà)出圖形并直接寫(xiě)出擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長(zhǎng)．（友情提醒：不寫(xiě)畫(huà)法，作圖工具不限）

Answer 1

分析：由于擴(kuò)充所得的等腰三角形腰和底不確定，若設(shè)擴(kuò)充所得的三角形是△ABD，則應(yīng)分為①BC=CD，②AC=CD，③AD=BD，④AB=BD，4種情況進(jìn)行討論．

解答：解：如圖所示：
（1）圖1：當(dāng)BC=CD=3cm時(shí)；
由于AC⊥BD，則AB=AD=5cm；
此時(shí)等腰三角形綠地的周長(zhǎng)=5+5+3+3=16（cm）；

（2）圖2：當(dāng)AC=CD=4cm時(shí)；
∵AC⊥CB，
∴AB=BD=5cm，
此時(shí)等腰三角形綠地的周長(zhǎng)=5+5+4+4=18（cm）；

（3）圖3：當(dāng)AD=BD時(shí)，設(shè)AD=BD=xcm；
Rt△ACD中，BD=xcm，CD=（x-3）cm；
由勾股定理，得AD²=DC²+CA²，即（x-3）²+4²=x²，解得x=

25

6

；
此時(shí)等腰三角形綠地的周長(zhǎng)=

25

6

×2+5=

40

3

（cm）．

（4）如圖4，延長(zhǎng)BC到D使BD等于5cm，
此時(shí)AB=BD=5cm，
故CD=2cm，
則AD=

42+22

=2

5

（cm），
此時(shí)等腰三角形綠地的周長(zhǎng)=5+5+2

5

=（10+2

5

）（cm）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確畫(huà)出圖形．