【題目】如圖,已知梯形中,,,,,是邊上一點,過、分別作、的平行線交于點,聯(lián)結(jié)并延長,與射線交于點.
(1)當(dāng)點與點重合時,求的值;
(2)當(dāng)點在邊.上時,設(shè),求的面積;(用含的代數(shù)式表示)
(3)當(dāng)時,求的余弦值.
【答案】(1) ;(2) ;(3).
【解析】
(1)由題意可得四邊形DCEF是平行四邊形,可得CD=EF,通過證明△CFE∽△CAB進行分析求值即可;
(2)根據(jù)題意延長AG,BC交為于點M,過點C作CN⊥AB于點N,交EF于點H,由題意可得四邊形ADCN是矩形,可得AD=CN=4,CD=AN=3,BN=3,由平行線分線段成比例可求BE,ME,MC,CH,GC的長,即可求GD的長,由三角求形面積公式可△DFG的面積;
(3)根據(jù)題意由△AFD∽△ADG,可得∠AFD=∠ADG=90°,由余角的性質(zhì)可得∠DAG=∠B,即可求∠DAG的余弦值.
解:(1)如圖,
∵DC∥EF,DF∥CE,
∴四邊形DCEF是平行四邊形,
∴CD=EF,
∵AB=2CD=6,
∴AB=2EF,
∵EF∥CD,AB∥CD,
∴EF∥AB,
∴△CFE∽△CAB,
∴,
∴BC=2CE,
∴BE=CE,
∴EC:BE=1:1=1.
(2)如圖,延長AG,BC交為于點M,過點C作CN⊥AB于點N,交EF于點H,
∵AD⊥CD,CN⊥CD,
∴AD∥CN,且CD∥AB,
∴四邊形ADCN是平行四邊形,
又∵∠DAB=90°,
∴四邊形ADCN是矩形,
∴AD=CN=4,CD=AN=3,
∴BN=AB-AN=3,
在Rt△BCN中,BC=,
∴BE=BC-CE=5-m,
∵EF∥AB,
∴即,
∴ME=BE=5-m,
∴MC=ME-CE=5-2m,
∵EF∥AB,
∴,
∴HC=,
∵CG∥EF,
∴,即,
∴,
∴,
∴.
(3)過點C作CN⊥AB于點N,
∵AB∥CD,∠DAB=90°,
∴∠DAB=∠ADG=90°,
若△AFD∽△ADG,
∴∠AFD=∠ADG=90°,
∴DF⊥AG,
又∵DF∥BC,
∴AG⊥BC,
∴∠B+∠GAB=90°,且∠DAG+∠GAB=90°,
∴∠B=∠DAG,
∴.
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【題目】如圖,在中,,以為直徑作圓,分別交于點,交的延長線于點,過點作于點,連接交線段于點.
(1)求證:是圓的切線;
(2)若為的中點,求的值;
(3)若,求圓的半徑.
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【題目】某商場為了吸引顧客,設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤,如圖所示,并規(guī)定:顧客消費200元(含200元)以上,就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會,如果轉(zhuǎn)盤停止后,指針正好對準(zhǔn)九折、八折、七折區(qū)域,顧客就可以獲得此項優(yōu)惠,如果指針恰好在分割線上時,則需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤.
(1)某顧客正好消費220元,他轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤,他獲得九折、八折、七折優(yōu)惠的概率分別是多少?
(2)某顧客消費中獲得了轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤的機會,實際付費168元,請問他消費所購物品的原價應(yīng)為多少元.
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【題目】某校在宣傳“民族團結(jié)”活動中,采用四種宣傳形式:A.器樂,B.舞蹈,C.朗誦,D.唱歌.每名學(xué)生從中選擇并且只能選擇一種最喜歡的,學(xué)校就宣傳形式對學(xué)生進行了抽樣調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請結(jié)合圖中所給信息,解答下列問題:
(1)本次調(diào)查的學(xué)生共有_____人;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)該校共有1200名學(xué)生,請估計選擇“唱歌”的學(xué)生有多少人?
(4)七年一班在最喜歡“器樂”的學(xué)生中,有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)表現(xiàn)優(yōu)秀,現(xiàn)從這四位同學(xué)中隨機選出兩名同學(xué)參加學(xué)校的器樂隊,請用列表或畫樹狀圖法求被選取的兩人恰好是甲和乙的概率.
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【題目】如圖,在中,,,將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到,點、分別與點、對應(yīng),與邊交于點.如果,那么的長是____________.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,D是邊BC的中點,DE⊥AC,垂足為點 E.
(1)求證:DECD=ADCE;
(2)設(shè)F為DE的中點,連接AF、BE,求證:AFBC=ADBE.
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【題目】若一個三角形一條邊的平方等于另兩條的乘積,我們把這個三角形叫做比例三角形.
(1)已知是比例三角形,,,請直接寫出所有滿足條件的的長;
(2)如圖,在四邊形中,,對角線平分,.求證:是比例三角形;
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【題目】如圖,和是有公共頂點的直角三角形,,點P為射線BD,CE的交點.
(1)如圖1,若和是等腰三角形,求證:;
(2)如圖2,若,問:(1)中的結(jié)論是否成立?請說明理由.
(3)在(1)的條件下,若,,若把繞點A旋轉(zhuǎn),當(dāng)時,求PB的長.
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【題目】對于一個函數(shù),如果它的自變量 x 與函數(shù)值 y 滿足:當(dāng)1≤x≤1 時,1≤y≤1,則稱這個函數(shù)為“閉 函數(shù)”.例如:y=x,y=x 均是“閉函數(shù)”. 已知 y ax2 bx c(a0) 是“閉函數(shù)”,且拋物線經(jīng)過點 A(1,1)和點 B(1,1),則 a 的取值范圍是______________.
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