已知:在△ABC中,∠ABC=90°,AB=5,∠C=30°,點(diǎn)D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、C重合),過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB交AB于點(diǎn)E,DF⊥BC交BC于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)EF,設(shè)AE=x,EF=y.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出定義域;
(2)以F為圓心FC為半徑的⊙F交直線AC于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)G為AD中點(diǎn)時(shí),求x的值;
(3)如圖2,聯(lián)結(jié)BD將△EBD沿直線BD翻折,點(diǎn)E落在點(diǎn)E′處,直線BE′與直線AC相交于點(diǎn)M,當(dāng)△BDM為等腰三角形時(shí),求∠ABD的度數(shù).
考點(diǎn):相似形綜合題
專(zhuān)題:
分析:(1)根據(jù)已知條件可證明四邊形EBFD為矩形,則ED∥BF,EB∥DF,即可得出∠ADE=∠C=30°,在Rt△AED中,由∠ADE=30°,AE=x,可表示出ED=
3
x
,AD=2x,在Rt△BEF中,BE=5-x,BF=ED=
3
x
,由勾股定理得y=
4x2-10x+25
(0<x<5)即可;
(2)在Rt△ABC中,由∠C=30°,AB=5,得出AC=10,BC=5
3
,從而得出FC=BC-BF=5
3
-
3
x
,分三種方法:
方法1:連接EG,F(xiàn)G,可證明△AEG為等邊三角形,則∠AGE=60°,從而得出∠EGF=90°;在Rt△EGF中,由勾股定理得EF2=EG2+GF2,從而得出x的值;
方法2:連接FG,作FH⊥GC交GC于點(diǎn)H,則CG=2CH,在Rt△CHF中,由AC=AG+CG=x+15-3x=10,得出x的值;
方法3:連接FG并延長(zhǎng)交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,由DF∥PB,則
DF
AP
=
FG
GP
=
DG
GA
,即BP=AB+AP=10-x,在Rt△BFP中,根據(jù)勾股定理得PF2=PB2+BF2,求得x1=
5
2
,x2=10(舍去);
(3)由翻折可得∠ABD=∠DBE′,當(dāng)△BDM是等腰三角形時(shí),∠ABD的大小存在三種情況:
當(dāng)點(diǎn)M落在AC邊上時(shí),①當(dāng)BD=BM時(shí),∠BDM=∠BMD,求得∠ABD=20°,②當(dāng)DB=DM時(shí),∠DBM=∠DMB,求得∠ABD=40°;
當(dāng)點(diǎn)M在CA延長(zhǎng)線上時(shí),③當(dāng)BD=BM時(shí),∠BDM=∠BMD,根據(jù)∠ADB+∠M=∠DBE′,得∠ADB=
1
2
∠ABD
,求得∠ABD=80°.
解答:解:(1)∵DE⊥AB,DF⊥BC,∠ABC=90°,
∴∠DEB=∠DFB=∠ABC=90°,
∴四邊形EBFD為矩形,
∴ED∥BF,EB∥DF
∴∠ADE=∠C=30°,
在Rt△AED中,∠ADE=30°,AE=x
∴ED=
3
x
,AD=2x,∠BAC=60°
在Rt△BEF中,BE=5-x,BF=ED=
3
x

∴EF=
BF2+BE2

y=
4x2-10x+25
(0<x<5),
(2)在Rt△ABC中,∠C=30°,AB=5
∴AC=10,BC=5
3
,
∴FC=BC-BF=5
3
-
3
x

方法1:
連接EG,F(xiàn)G,如圖2,
在Rt△AED中,G為AD中點(diǎn)
∴EG=AG=AE
∴△AEG為等邊三角形
∴∠AGE=60°,
∵FC=FG
∴∠FGC=∠C=30°
∴∠EGF=90°,
在Rt△EGF中,EF2=EG2+GF2
4x2-10x+25=x2+(5
3
-
3
x)2

x=
5
2
,
方法2:
連接FG,作FH⊥GC交GC于點(diǎn)H,如圖2,
∴CG=2CH,
在Rt△CHF中,HC=
3
2
FC=
15-3x
2
,
∴CG=15-3x,
∵AC=AG+CG=x+15-3x=10,
x=
5
2
,
方法3:
連接FG并延長(zhǎng)交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,如圖3,
∵DF∥PB,
DF
AP
=
FG
GP
=
DG
GA
,
∴BP=AB+AP=10-x,
FP=2FG=10
3
-2
3
x

在Rt△BFP中,PF2=PB2+BF2,
∴2x2-25x+50=0,
x1=
5
2
,x2=10(舍去);
(3)由翻折可得∠ABD=∠DBE′,△BDM是等腰三角形時(shí),∠ABD的大小存在三種情況:
當(dāng)點(diǎn)M落在AC邊上時(shí),
①當(dāng)BD=BM時(shí),∠BDM=∠BMD,
∵∠A+∠ABM+∠AMB=180°,
∴60°+2∠ABD+
1800-∠ABD
2
=180°
∴∠ABD=20°,
②當(dāng)DB=DM時(shí),∠DBM=∠DMB
∵∠A+∠ABM+∠AMB=180°
∴3∠ABD+∠A=180°
∴∠ABD=40°,
當(dāng)點(diǎn)M在CA延長(zhǎng)線上時(shí),
③當(dāng)BD=BM時(shí),∠BDM=∠BMD,
∵∠ADB+∠M=∠DBE′,
∠ADB=
1
2
∠ABD

∵∠BAC+∠ABD+∠ADB=180°,
∴60°+∠ABD+
1
2
∠ABD
=180°,
∴∠ABD=80°.
點(diǎn)評(píng):本題考查了相似圖形的綜合運(yùn)用,還考查了等腰三角形的判定、矩形的判定以及勾股定理的應(yīng)用,分類(lèi)討論思想的運(yùn)用,是一道綜合性較強(qiáng)的題目,難度較大.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=
6
x
(x>0)
的圖象交于A(m,6),B(3,n)兩點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出kx+b-
6
x
<0
的x的取值范圍;
(3)求△AOB的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,A,B,C是三個(gè)垃圾存放點(diǎn),點(diǎn)B,C分別位于點(diǎn)A的正北和正東方向,AC=100米.四人分別測(cè)得∠C的度數(shù)如下表:
∠C(單位:度)34363840
他們又調(diào)查了各點(diǎn)的垃圾量,并繪制了下列尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖2,圖3:

(1)求表中∠C度數(shù)的平均數(shù)
.
x

(2)求A處的垃圾量,并將圖2補(bǔ)充完整;
(3)用(1)中的
.
x
作為∠C的度數(shù),要將A處的垃圾沿道路AB都運(yùn)到B處,已知運(yùn)送1千克垃圾每米的費(fèi)用為0.005元,求運(yùn)垃圾所需的費(fèi)用.(注:sin37°=0.6,cos37°=0.8,tan37°=0.75)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

小方與同學(xué)一起去郊游,看到一棵大樹(shù)斜靠在一小土坡上,他想知道樹(shù)有多長(zhǎng),于是他借來(lái)測(cè)角儀和卷尺.如圖,他在點(diǎn)C處測(cè)得樹(shù)AB頂端A的仰角為30°,沿著CB方向向大樹(shù)行進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)D,測(cè)得樹(shù)AB頂端A的仰角為45°,又測(cè)得樹(shù)AB傾斜角∠1=75°.
(1)求AD的長(zhǎng).
(2)求樹(shù)長(zhǎng)AB.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

四張撲克牌的牌面如圖1所示,將撲克牌洗勻后,如圖2背面朝上放置在桌面上,小明和小亮設(shè)計(jì)了A、B兩種游戲方案:
方案A:隨機(jī)抽一張撲克牌,牌面數(shù)字為5時(shí)小明獲勝;否則小亮獲勝.
方案B:隨機(jī)同時(shí)抽取兩張撲克牌,兩張牌面數(shù)字之和為偶數(shù)時(shí),小明獲勝;否則小亮獲勝.
請(qǐng)你幫小亮選擇其中一種方案,使他獲勝的可能性較大,并說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知A(-4,
1
2
),B(-1,2)是一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=
m
x
(m≠0,m<0)圖象的兩個(gè)交點(diǎn),AC⊥x軸于C,BD⊥y軸于D.
(1)根據(jù)圖象直接回答:在第二象限內(nèi),當(dāng)x取何值時(shí),一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值?
(2)求一次函數(shù)解析式及m的值;
(3)P是線段AB上的一點(diǎn),連接PC,PD,若△PCA和△PDB面積相等,求點(diǎn)P坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在一個(gè)不透明的袋子中裝有5個(gè)完全相同的小球,在它們上面分別標(biāo)上C,H.I,N,A從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球,則摸到的小球上所標(biāo)字母為元音字母的概率是
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

當(dāng)x=
2
-1時(shí),代數(shù)式
x2-2x+1
x+1
÷
x-1
x2+x
+x的值是
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

把多項(xiàng)式2x2-8y2分解因式的結(jié)果是
 

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