Question

如圖1，已知⊙O的半徑長(zhǎng)為1，PQ是⊙O的直徑，點(diǎn)M是PQ延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心作圓，與⊙O交于A、B兩點(diǎn)，連接PA并延長(zhǎng)，交⊙M于另外一點(diǎn)C．
（1）若AB恰好是⊙O的直徑，設(shè)OM=x，AC=y，試在圖2中畫(huà)出符合要求的大致圖形，并求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）連接OA、MA、MC，若OA⊥MA，且△OMA與△PMC相似，求OM的長(zhǎng)度和⊙M的半徑長(zhǎng)；
（3）是否存在⊙M，使得AB、AC恰好是一個(gè)正五邊形的兩條邊？若存在，試求OM的長(zhǎng)度和⊙M的半徑長(zhǎng)；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AC，垂足為N，可得AN=NC=

1

2

y，再根據(jù)PM⊥AB，又AB是圓O的直徑，可得PN=

2

+

1

2

y，在Rt△PNM中，再利用cos∠NPM=

PN

PM

即可求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)圓M的半徑為r，利用勾股定理求出OM，根據(jù)△OMA∽△PMC，可得△PMC是直角三角形．然后可得∠CPM、∠PCM都不可能是直角．又利用∠AOM=2∠P≠∠P，可得即若△OMA與△PMC相似，其對(duì)應(yīng)性只能是點(diǎn)O與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)、點(diǎn)M與點(diǎn)P對(duì)應(yīng)、點(diǎn)A與點(diǎn)M對(duì)應(yīng)．從而求得OM，然后即可求得⊙M的半徑長(zhǎng)．
（3）假設(shè)存在⊙M，使得AB、AC恰好是一個(gè)正五邊形的兩條邊，連接OA、MA、MC、AQ，設(shè)公共弦AB與直線OM相交于點(diǎn)G，由正五邊形求得∠AMB和∠BAC，再利用AB是公共弦，OM⊥AB，∠AMO=36°，從而求得∠AOM=∠AMO，在求證△MAQ∽△MOA，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AC，垂足為N，
∴AN=NC=

1

2

y，
由題意得：PM⊥AB，又AB是圓O的直徑，
∴OA=OP=1，
∴∠APO=45°，PA=

2

，
∴PN=

2

+

1

2

y，
在Rt△PNM中，cos∠NPM=

PN

PM

，
又PM=1+x，∠NPM=45°，
∴cos45°=

2 + 1 2 y

1+x

=

2

2

，
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=

2

x-

2

（x＞1），

（2）設(shè)圓M的半徑為r，
∵OA⊥MA，
∴∠OAM=90°，OM=

r2+1

又∵△OMA∽△PMC，
∴△PMC是直角三角形．
∵OA=OP，MA=MC，
∴∠CPM、∠PCM都不可能是直角．
∴∠PMC=90°．
又∵∠AOM=2∠P≠∠P，
∴∠AMO=∠P，
即若△OMA與△PMC相似，其對(duì)應(yīng)性只能是點(diǎn)O與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)、點(diǎn)M與點(diǎn)P對(duì)應(yīng)、點(diǎn)A與點(diǎn)M對(duì)應(yīng)．
∴

AM

PM

=

AO

MC

，即

r

1+ r2+1

=

1

r

，解得r=

3

，
從而OM=2，
∴OM=2，圓M的半徑為

3

．

（3）假設(shè)存在⊙M，使得AB、AC恰好是一個(gè)正五邊形的兩條邊，
連接OA、MA、MC、AQ，設(shè)公共弦AB與直線OM相交于點(diǎn)G
由正五邊形知∠AMB=∠AMC=

360°

5

=72°，∠BAC=108°，
∵AB是公共弦，
∴OM⊥AB，∠AMO=36°，
從而∠P=18°，∠AOM=2∠P=36°
∴∠AOM=∠AMO
∴AM=AO=1，即圓M的半徑是1，
∵OA=OQ=1，∠AOM=36°
∴∠AQO=72°
∴∠QAM=∠AQO-∠AMO=36°
∴△MAQ∽△MOA，
∴

AM

OM

=

MQ

AM

∵AM=1，MQ=OM-1
∴

1

OM

=

OM-1

1

，解得：OM=

1± 5

2

（負(fù)值舍去）
∴OM=

5 +1

2

，
所以，存在⊙M，使得AB、AC恰好是一個(gè)正五邊形的兩條邊，
此時(shí)的OM=

5 +1

2

，圓M的半徑是1．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，兩圓相交的性質(zhì)，正多邊形和圓等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，綜合性很強(qiáng)，有利于學(xué)生系統(tǒng)的掌握知識(shí)，屬于難題．