Question

9．如圖，?ABCD中，AE⊥BE于E，CF⊥AD于F，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)．求證：四邊形MENF是平行四邊形．

Answer 1

分析 由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，AD∥BC，∠MAF=∠NCE，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出ME=NF=AM=CN，證出四邊形AECF是平行四邊形，得出AF=CE，由SAS證明△AMF≌△CNE，得出對(duì)應(yīng)邊相等MF=NE，即可得出四邊形MENF是平行四邊形．

解答 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD∥BC，∠MAF=∠NCE，
∵AE⊥BE于E，CF⊥AD于F，
∴AE∥CF，∠AEB=∠CFD=90°，
∵M(jìn)、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，
∴ME=$\frac{1}{2}$AB=AM，NF=$\frac{1}{2}$CD=CN，
∴ME=NF=AM=CN，
∵AD∥BC，AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AF=CE，
在△AMF和△CNE中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CE}&{\;}\\{∠MAF=∠NCE}&{\;}\\{AM=CN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMF≌△CNE（SAS），
∴MF=NE，
∴四邊形MENF是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識(shí)；證明三角形全等得出MF=NE是解決問題的關(guān)鍵．