Question

【題目】已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，雙曲線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)．

（1）求、、的值；

（2）如圖1，點(diǎn)在軸上，若四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在軸上，若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，試求滿足要求的所有點(diǎn)、的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）、坐標(biāo)分別為、；、或、、

【解析】

(1) 過(guò)點(diǎn)作軸于，再證，即可求出、、的值；
(2) 設(shè)得到，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)由反比例函數(shù)的解析式為，再由點(diǎn)P在雙曲線上，點(diǎn)Q在y軸上，設(shè)Q(0,y)， P(x, )，再分以AB為邊和以AB為對(duì)角線兩種情況求出x的值，故可得出P、Q的坐標(biāo)．

解：（1）過(guò)點(diǎn)作軸于

∵為的中點(diǎn)，

∴DE=AE,

又∵∠PED=∠OEA, ∠DPE=∠AOE,

∴

∴

∴

∴即

∴

（2）∵四邊形是平行四邊形.

∴

∵

在軸上

∴設(shè)

則

∴

（3）∵反比例函數(shù)的表達(dá)式為，
∵點(diǎn)P在雙曲線上，點(diǎn)Q在y軸上，
∴設(shè)Q(0,y)，P(x, );
①AB為邊時(shí)，如圖①所示．若四邊形ABPQ平行四邊形，

則=0，解得x=1，此時(shí)P1(1,4)，Q1(0,6)；
如圖②所示．

若四邊形ABQP是平行四邊形，則x=1.此時(shí)P2(1,4)，Q2(0,6);
②當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，如圖③所示，

AP=BQ，且AP//BQ，
所以x=1，
所以P3(1,4)，Q3(0,2)，
故滿足要求的點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別是、；、或、、

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