Question

19．已知：△ABC中，AB=13，AC=9，BC=4$\sqrt{10}$，BD⊥AC于D．
（1）求線段BD的長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)P為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，若△BDP為等腰三角形，求BP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AD=x，則CD=9-x，由勾股定理得出方程${13^2}-{x^2}={（{4\sqrt{10}}）^2}-{（{9-x}）^2}$，解方程求出AD，再由勾股定理求出BD即可；
（2）分三種情況討論：①若BD=BP，則BP=12；
②若DP=DB，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，由三角形的面積求出DE，由勾股定理求出BE，即可得出BP的長(zhǎng)；
③若PD=PB，則∠1=∠2，求出∠3=∠4，得出PD=PC，因此BP=PC，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)AD=x，則CD=9-x，∵BD⊥AC，∴∠ADB=∠BDC=90°，
由勾股定理得：AB²-AD²=BD²=BC²-CD²，
∴${13^2}-{x^2}={（{4\sqrt{10}}）^2}-{（{9-x}）^2}$，
解得：x=5，
∴BD=$\sqrt{A{B^2}-A{D^2}}$=12；                                    
（2）∵△BDP為等腰三角形，
∴分三種情況：
①若BD=BP，則BP=12，
②若DP=DB，
過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，如圖1所示：
∵${S_{△BDC}}=\frac{1}{2}BD•CD=\frac{1}{2}BC•DE$
∴$DE=\frac{BD•CD}{BC}=\frac{12×4}{{4\sqrt{10}}}=\frac{6}{5}\sqrt{10}$，
∴$BE=\sqrt{B{D^2}-D{E^2}}=\frac{18}{5}\sqrt{10}$，
∵BD=DP且DE⊥BC，
∴BP=2BE=$\frac{36}{5}$$\sqrt{10}$，
③若PD=PB，如圖2所示：
∵PD=BP，
∴∠1=∠2，
∵∠BDC=90°，
∴∠2+∠3=90°且∠1+∠4=90°，
∴∠3=∠4
∴PD=PC，
∴BP=PC，
∴BP=$\frac{1}{2}$BC=$2\sqrt{10}$，
綜上所述：當(dāng)△BDP為等腰三角形時(shí)，BP=12或$\frac{36}{5}$$\sqrt{10}$或$2\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理得出方程和進(jìn)行計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．