Question

△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在邊AB上，AD=AC=7，BD=

1

2

BC．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)M、N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求cosA的值．
（2）當(dāng)以MN為直徑的圓與△ABC一邊相切時(shí)，求t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),解直角三角形

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）根據(jù)勾股定理求得BC的長度，即可得到cosA的值．
（2）分三種情況討論：
當(dāng)⊙O與AB相切時(shí)，則MN⊥AB，利用相似 AN：AM=AC：AB，得到比例式，即可求得答案；
當(dāng)⊙O與AC相切時(shí)，則MN⊥AC，利用相似 AN：AM=AC：AB，得到比例式，即可求得答案；
當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，作NE⊥BC，垂足為E，取EC的中點(diǎn)F，連結(jié)OF，易得△FCM∽△NEF．，利用比例求解即可

解答：解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AD=AC=7，BD=

1

2

BC．
∴（7+

1

2

BC）²=BC²+7²，解得：BC=

28

3

，
∴BD=

14

3

，
∴AB=7+

14

3

=

35

3

，
∴cosA=

AC

AB

=

7

35 3

=

3

5

；
（2）當(dāng)⊙O與AB相切時(shí)，則MN⊥AB，
∵∠MNA=∠C=90°∠A=∠MAN，
∴△MNA∽△BCA，
∴

AM

AN

=

AB

AC

，
即

7-t

7-2t

=

5

3

，解得：t=2；
當(dāng)⊙O與AC相切時(shí)，則MN⊥AC，
∵∠NMA=∠C=90°∠A=∠MAN，
∴△ANM∽△ABC，
∴

AM

AN

=

AC

AB

，
即

7-t

7-2t

=

3

5

，解得：t=-14（舍去），
當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，如圖，作NE⊥BC，垂足為E．取EC的中點(diǎn)F，連結(jié)OF，則OF⊥BC，即點(diǎn)F為⊙O與BC相切的切點(diǎn)．
連結(jié)MF，NF，則FM⊥FN，因此△FCM∽△NEF．
因此CM•EN=EF²=FC²，
CM=t，EN=(

4

3

+2t)•

3

5

，EF=FC=

1

2

EC=

2

5

(7-2t)，
因此t•(

4

3

+2t)•

3

5

=(

2

5

(7-2t))2，整理得t²+13t-14=0，解得：t=1，t=-14（舍去）．
綜上所得，當(dāng)以MN為直徑的圓與△ABC一邊相切時(shí)，t=1或t=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了勾股定理和垂徑定理，注意分類討論是解題的關(guān)鍵．