【題目】已知,如圖:正方形ABCD,將Rt△EFG斜邊EG的中點(diǎn)與點(diǎn)A重合,直角頂點(diǎn)F落在正方形的AB邊上,Rt△EFG的兩直角邊分別交AB、AD邊于P、Q兩點(diǎn),(點(diǎn)P與點(diǎn)F重合),如圖1所示:
(1)求證:EP2+GQ2=PQ2;
(2)若將Rt△EFG繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α≤90°),兩直角邊分別交AB、AD邊于P、Q兩點(diǎn),如圖2所示:判斷四條線段EP、PF、FQ、QG之間是否存在什么確定的相等關(guān)系?若存在,證明你的結(jié)論.若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)若將Rt△EFG繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(90°<α<180°),兩直角邊所在的直線分別交BA、AD兩邊延長(zhǎng)線于P、Q兩點(diǎn),并判斷四條線段EP、PF、FQ、QG之間存在何種確定的相等關(guān)系?按題意完善圖3,請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論(不用證明).
【答案】(1)見解析;(2)PF2+FQ2=EP2+GQ2;(3)四條線段EP、PF、FQ、QG之間的關(guān)系為PF2+GQ2=PE2+FQ2.
【解析】
(1)過點(diǎn)E作EH∥FG,由此可證△EAH≌△GAQ,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EH=QG,又PQ=PH,在Rt△EPH中,EP2+EH2=PH2,由此可以得到EP2+GQ2=PQ2;
(2)過點(diǎn)E作EH∥FG,交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接PQ、PH,由此可證△EAH≌△GAQ,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EH=QG,又PH=PQ,在Rt△EPH中,EP2+EH2=PH2,即EP2+GQ2=PH2,在Rt△PFQ中,PF2+FQ2=PQ2,故PF2+FQ2=EP2+GQ2;
(3)四條線段EP、PF、FQ、QG之間的關(guān)系為PE2+GQ2=PF2+FQ2,證明方法同上.
(1)過點(diǎn)E作EH∥FG,連接AH、FH,如圖所示:
∵EA=AG,∠HEA=∠AGQ,∠HAE=∠GAD,
∴△EAH≌△GAQ,
∴EH=QG,HA=AQ,
∵FA⊥AD,
∴PQ=PH.
在Rt△EPH中,
∵EP2+EH2=PH2,
∴EP2+GQ2=PQ2;
(2)過點(diǎn)E作EH∥FG,交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接PQ、PH,
∵EA=AG,∠HEA=∠AGQ,∠HAE=∠GAD,
∴△EAH≌△GAQ,
∴EH=QG,HA=AQ,
∵PA⊥AD,
∴PQ=PH.
在Rt△EPH中,
∵EP2+EH2=PH2,
∴EP2+GQ2=PH2.
在Rt△PFQ中,
∵PF2+FQ2=PQ2,
∴PF2+FQ2=EP2+GQ2.
(3)四條線段EP、PF、FQ、QG之間的關(guān)系為PF2+GQ2=PE2+FQ2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線c和直線b相較于點(diǎn),直線c過點(diǎn)平行于y軸的動(dòng)直線a的解析式為,且動(dòng)直線a分別交直線b、c于點(diǎn)D、在D的上方.
求直線b和直線c的解析式;
若P是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足是等腰直角三角形,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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【題目】有一個(gè)圓柱形玻璃杯高,底面周長(zhǎng)為,有一只螞蟻在一側(cè)距下底的外側(cè)點(diǎn),與點(diǎn)正對(duì)的容器內(nèi)側(cè)距下底的點(diǎn)處有一飯粒,螞蟻想吃處的飯粒,要從杯子的外側(cè)爬到杯子的內(nèi)側(cè),杯子的厚度忽略不計(jì),則至少需要爬________________。
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【題目】如圖△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=AD,AD交BC于點(diǎn)P,∠CAD=30°,AC=6,求:
(1)∠BDC的度數(shù),
(2)△ABD的周長(zhǎng)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了準(zhǔn)備科技節(jié)創(chuàng)意銷售,宏帆初2018級(jí)某同學(xué)到批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買了一些甲、乙兩種型號(hào)的小元件,甲型小元件的單價(jià)是6元,乙型小元件的單價(jià)是3元,該同學(xué)的創(chuàng)意作品每件需要的乙型小元件的個(gè)數(shù)是甲型小元件的個(gè)數(shù)的2倍,同時(shí),為了控制成本,該同學(xué)購(gòu)買小元件的總費(fèi)用不超過480元.
(1)該同學(xué)最多可購(gòu)買多少個(gè)甲型小元件?
(2)在該同學(xué)購(gòu)買甲型小元件最多的前提下,用所購(gòu)買的甲、乙兩種型號(hào)的小元件全部制作成創(chuàng)意作品,在制作中其他費(fèi)用共花520元,銷售當(dāng)天,該同學(xué)在成本價(jià)(購(gòu)買小元件的費(fèi)用+其他費(fèi)用)的基礎(chǔ)上每件提高2a%(10<a<50)標(biāo)價(jià),但無人問津,于是該同學(xué)在標(biāo)價(jià)的基礎(chǔ)上降低a%出售,最終,在活動(dòng)結(jié)束時(shí)作品全部賣完,這樣,該同學(xué)在本次活動(dòng)中賺了a%,求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,直線l:y=x+m與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(0,﹣1),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B,與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為C(4,n).
(1)求n的值和拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D在拋物線上,DE∥y軸交直線l于點(diǎn)E,點(diǎn)F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0<t<4),矩形DFEG的周長(zhǎng)為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值;
(3)將△AOB繞平面內(nèi)某點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到△A1O1B1,點(diǎn)A、O、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1、O1、B1.若△A1O1B1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點(diǎn)為“落點(diǎn)”,請(qǐng)直接寫出“落點(diǎn)”的個(gè)數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時(shí)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,(1)寫出△ABC的各頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)畫出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1;
(3)寫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的三角形的各頂點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在下列帶有坐標(biāo)系的網(wǎng)格中,△ABC的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上
(1) 直接寫出坐標(biāo):A__________,B__________
(2) 畫出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱的△DEC(點(diǎn)D與點(diǎn)A對(duì)應(yīng))
(3) 用無刻度的直尺,運(yùn)用全等的知識(shí)作出△ABC的高線BF(保留作圖痕跡)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在長(zhǎng)方形ABCD中,AB=4,AD=6.延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E,使CE=2,連接DE,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒2個(gè)單位的速度沿BC-CD-DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,當(dāng)的值為_____秒時(shí),△ABP和△DCE全等.
A.1B.1或3C.1或7D.3或7
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