Question

5．如圖．在△ABC中，AB=4，D是AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B）重合，DE∥BC，交AC于點(diǎn)E．設(shè)△ABC的面積為S，△DEC的面積為S′．
（1）當(dāng)D是AB中點(diǎn)時(shí)，求$\frac{S′}{S}$的值；
（2）設(shè)AD=x，$\frac{S′}{S}$=y，求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）根據(jù)y的范圍，求S-4S′的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出△ADE和△CDE的面積相等，再根據(jù)平行線得出△ADE∽△ABC，推出$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{A{D}^{2}}{A{B}^{2}}$ 把AB=2AD代入求出即可；
（2）求出 $\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{16}$ x²①$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△DEC}}=\frac{AE}{EC}=\frac{x}{4-x}$ ②，聯(lián)立①②即可求出函數(shù)關(guān)系式；y=$\frac{S'}{S}$=-$\frac{1}{16}$x²+$\frac{1}{4}$x，
（3）把函數(shù)關(guān)系式寫(xiě)成頂點(diǎn)式即可求出結(jié)論．

解答 解：（1）∵D為AB中點(diǎn)，
∴AB=2AD，
∵DE∥BC，
∴AE=EC，
∵△ADE的邊AE上的高和△CED的邊CE上的高相等，
∴S_△ADE=S_△CDE=S₁，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}=\frac{A{D}^{2}}{A{B}^{2}}=\frac{1}{4}$
∴S′：S=1：4；
（2）∵AB=4，AD=x，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}=\frac{{x}^{2}}{16}$ ①，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
∵AB=4，AD=x，∴$\frac{AE}{AC}=\frac{x}{4}$，∴$\frac{AE}{CE}=\frac{x}{4-x}$，∵△ADE的邊AE上的高和△CED的邊CE上的高相等，∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△DEC}}=\frac{AE}{EC}=\frac{x}{4-x}$ ②，
①÷②得：
∴y=$\frac{S'}{S}$=-$\frac{1}{16}$x²+$\frac{1}{4}$x，
∵AB=4，
∴x的取值范圍是0＜x＜4；

（3）由（2）知x的取值范圍是0＜x＜4，
∴y=$\frac{S'}{S}$=-$\frac{1}{16}$x²+$\frac{1}{4}$x=-$\frac{1}{16}$（x-2）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
∴S′≤$\frac{1}{4}$S．
∴S≥4S′，
∴S-4S'≥0，
∴S-4S′的最小值為0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的計(jì)算方法，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．