Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC、AC分別交于D、E兩點， DFAC于F．

（1）求證：DF為⊙O的切線；

（2）若，CF=9，求AE的長．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）7．

【解析】

試題分析：（1）連接OD，AD，求出OD∥AC，推出OD⊥DF，根據切線的判定推出即可.

（2）求出CD、DF，推出四邊形DMEF和四邊形OMEN是矩形，推出OM=EN，EM=DF=12，求出OM，即可求出答案．

試題解析：（1）連接OD，AD，

∵AB是⊙的直徑，∴∠ADB=90°.

又∵AB=AC，∴BD=CD.

又∵OB=OA，∴OD∥AC.

∵DF⊥AC，∴OD⊥DF.

又∵OD為⊙的半徑，∴DF為⊙O的切線．

（2）連接BE交OD于M，過O作ON⊥AE于N，則AE=2NE，

∵，CF=9，∴DC=15．∴.

∵AB是直徑，∴∠AEB=∠CEB=90°.

∵DF⊥AC，OD⊥DF，∴∠DFE=∠FEM=∠MDF=90°.∴四邊形DMEF是矩形.

∴EM=DF=12，∠DME=90°，DM=EF.即OD⊥BE.

同理四邊形OMEN是矩形，∴OM=EN.

∵OD為半徑，∴BE=2EM=24.

∵∠BEA=∠DFC=90°，∠C=∠C，∴△CFD∽△CEB.

∴，即.

∴EF=9=DM.

設⊙O的半徑為R，

則在Rt△EMO中，由勾股定理得：，解得：.

則EN=OM=.

∴AE=2EN=7．

考點：1.垂徑定理；2.勾股定理；3.矩形的性質和判定；4.切線的判定；5.平行線的性質的應用.