Question

18．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，對角線AC⊥CD，點E在邊BC上，且∠AEB=45°，CD=10．
（1）求AB的長；
（2）求EC的長．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ACD中，根據(jù)三角函數(shù)可求AC=$10\sqrt{3}$，∠DAC=30°，根據(jù)平行線的性質得到∠ACB=30°，在Rt△ACB中，根據(jù)三角函數(shù)可求AB的長；
（2）在Rt△ABE中，根據(jù)三角函數(shù)可求BE，BC，再根據(jù)EC=BC-BE即可求解．

解答 解：（1）在Rt△ACD中，∵∠D=60°，CD=10，
∴AC=$10\sqrt{3}$，∠DAC=30°，
又∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC=30°，
∴在Rt△ACB中，
AB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{10}{2}\sqrt{3}$=$5\sqrt{3}$．
（2）在Rt△ABE中，∠AEB=45°，
∴BE=AB=$5\sqrt{3}$，
由（1）可知，BC=$\sqrt{3}$AB=$\sqrt{3}\;×\;5\sqrt{3}$=15，
∴EC=BC-BE=$15-5\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了勾股定理，三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)求出線段的長是本題的基本思路．