Question

如圖，已知等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E、F分別為AB、AC、BC邊的中點(diǎn)，M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，△DMN為等邊三角形（點(diǎn)M的位置改變時(shí)，△DMN也隨之整體移動(dòng)）．如圖①，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)F是否在直線NE上？請證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：探究型

分析：可通過全等三角形來證明EN與MF相等，如果連接DE，DF，那么DE就是三角形ABC的中位線，可得出三角形ADE，BDF，DFE，F(xiàn)EC都是等邊三角形，那么∠DEF=∠DFM=60°，DE=DF，而∠MDN和∠FDE都是60°加上一個(gè)∠NDF，因此三角形MDF和EDN就全等了（ASA）．由此可得出EN=MF，∠DNE=∠DMB，已知了BD=DF，DM=DN，因此三角形DBM≌三角形DFN，因此∠DFN=∠DBM=120°，因此∠DFN是三角形DFE的外角因此N，F(xiàn)，E在同一直線上．

解答：解：判斷：EN與MF相等（或EN=MF），點(diǎn)F在直線NE上，
理由如下：
連接DE，DF，EF．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC．
又∵DE，DF，EF為三角形的中位線．
∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．
又∵∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE，
在△DMF和△DNE中，

DE=DF ∠MDF=∠NDE DM=DN

，
∴△DMF≌△DNE（SAS），
∴MF=NE；
又∵∠BDM+∠BDN=60°，∠NDF+∠BDN=60°，
∴∠BDM=∠NDF，
∴∠DFN=∠DBM=120°．
又∵∠DFE=60°．
∴∠NFE=∠DFN+∠DFE=180°．
可得點(diǎn)F在NE上．

點(diǎn)評：此題綜合運(yùn)用了等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)．全等是證明線段相等的常用方法，證明三點(diǎn)共線的方法是利用平角定義．