Question

已知關(guān)于x的方程x²+kx-

3

4

k²=0（k為常數(shù)，且k＞0）．
（1）證明：此方程總有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂；
（2）設(shè)此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁、x₂，若

1

|x1|

-

1

|x2|

=

2

3

，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系,根的判別式

專題：

分析：（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式符號(hào)來(lái)證明方程的根的情況；
（2）利用因式分解法求得方程的兩根，然后求k的值．

解答：（1）證明：△=k²-4×1×（-

3

4

k²）=4k²，
∵k＞0，
∴△=4k²＞0．
∴此方程總有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．

（2）解：方程x²+kx-

3

4

k²=0的解為x=

1

2

k或x=-

3

2

k．
∴

1

|x1|

-

1

|x2|

=|

2

k

|-|-

2

3k

|=

2

k

+

2

3k

=

2

3

∴解得，k=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的判別式．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．